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SINGULAR INTEGRAL OPERATORS ON REARRANGEMENT-INVARIANT BANACH FUNCTION SPACES
| Nome: | Descrição: | Tamanho: | Formato: | |
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Autores
Orientador(es)
Resumo(s)
Given the Cauchy singular integral operator S acting on a reflexive rearrangementinvariant
Banach function space, our goal is to study the Fredholmness of the
operator aP + Q where P = 1
2 (I + S), Q = 1
2 (I − S) and a is a semi-almost periodic
function.
We start by equipping the space of the measurable functions finite μ-a.e.,
defined on a σ-finite measure space, with a metric. Then, we define the Banach
function spaces and we proceed to a detailed study of their properties. Next up,
we define the rearrangement invariant spaces and study the boundedness of the
Hilbert transform H acting on these spaces. The operators S and H share the
same behaviour, since S = iH, where i represents the imaginary unit. Further,
we develop the necessary theory of compact and Fredholm operators. Finally,
we prove our main result saying that, if a is a semi-almost periodic function
and the operator aP + Q is Fredholm, then alP + Q and arP + Q are invertible
on the reflexive rearrangement-invariant space, where al and ar are the left and
right almost periodic representatives of a, respectively, provided by the Sarason
theorem. If a is a purely almost periodic function, then a = al = ar and the above
result implies that the invertibility and the Fredholmness of this operator are
equivalent.
Dado o operador integral singular de Cauchy S sobre um espaço funcional de Banach invariante após rearranjo que seja reflexivo, o nosso objetivo é estudar o caso em que o operador aP + Q é de Fredholm, onde P = 1 2 (I + S), Q = 1 2 (I − S) e a é uma função semi-quase periódica. Começamos por munir o espaço de todas as funções mensuráveis que são finitas μ-a.e. definidas num espaço de medida σ-finita, com uma métrica. Depois, definimos os espaços funcionais de Banach e procedemos ao estudo detalhado das suas propriedades. A seguir, desenvolvemos a teoria necessária de operadores compactos e de Fredholm. Finalmente, provamos o resultado principal que diz que, se a é uma função semi-quase periódica e se aP + Q é de Fredholm, então alP + Q e arP + Q são invertíveis no espaço reflexivo invariante após rearranjo, onde al e ar são representantes quase periódicos esquerdo e direito de a, respectivamente, fornecidos pelo teorema de Sarason. Se a é puramente quase periódica, como a = al = ar, o resultado acima diz que a noção de invertibilidade e de Fredholm deste operador são equivalentes.
Dado o operador integral singular de Cauchy S sobre um espaço funcional de Banach invariante após rearranjo que seja reflexivo, o nosso objetivo é estudar o caso em que o operador aP + Q é de Fredholm, onde P = 1 2 (I + S), Q = 1 2 (I − S) e a é uma função semi-quase periódica. Começamos por munir o espaço de todas as funções mensuráveis que são finitas μ-a.e. definidas num espaço de medida σ-finita, com uma métrica. Depois, definimos os espaços funcionais de Banach e procedemos ao estudo detalhado das suas propriedades. A seguir, desenvolvemos a teoria necessária de operadores compactos e de Fredholm. Finalmente, provamos o resultado principal que diz que, se a é uma função semi-quase periódica e se aP + Q é de Fredholm, então alP + Q e arP + Q são invertíveis no espaço reflexivo invariante após rearranjo, onde al e ar são representantes quase periódicos esquerdo e direito de a, respectivamente, fornecidos pelo teorema de Sarason. Se a é puramente quase periódica, como a = al = ar, o resultado acima diz que a noção de invertibilidade e de Fredholm deste operador são equivalentes.
Descrição
Palavras-chave
Banach function space rearrangement-invariant space Fredholm operator compact operator Cauchy singular integral operator Boyd indices