A carregar...
Publicação
On Voevodsky and Farrell-Jones conjectures
| Nome: | Descrição: | Tamanho: | Formato: | |
|---|---|---|---|---|
| 1.34 MB | Adobe PDF |
Orientador(es)
Resumo(s)
This thesis consists of two parts. In the first part we improve the Voevodsky nilpotence
conjecture, a problem on algebraic geometry. In the second part we improve the Farrell-
Jones isomorphism conjecture, a problem on algebraic topology.
The Voevodsky nilpotence conjecture claims that the nilpotence and the numerical
equivalence relations on the algebraic cycles of a smooth proper scheme agree. Bernardara-
Marcolli-Tabuada generalized this problem to the setting of differential graded categories
and showed that this conjecture holds for certain quadric fibrations, intersections of
quadrics, linear sections of Grassmannians and of determinantal varietie and Moishezon
manifolds. Later on, Ornaghi-Pertusi showed that the conjecture holds for cubic fourfolds
and for Gushel-Mukai fourfolds. Working on this setting of differential graded categories,
we refine these results by showing that the algebraic and the numerical equivalence
relations also agree for those cases. Moreover,wework withquotients between equivalence
relations. This allows us not only to obtain a refinement of the aforementioned results
but also to compute, for example, the quotient between the rational and the algebraic
equivalence relations of certain five-folds. These results lead to preprint [74].
The Farrell-Jones isomorphism conjecture is a local-to-global statement that claims
that the algebraic 𝐾-theory of a group ring 𝑅𝐺, where 𝑅 stands for a commutative ring, is
completely determined by the algebraic 𝐾-theory of the group rings 𝑅𝑉 with 𝑉 a virtually
cyclic subgroup of 𝐺. This important conjecture simplifies the computation of the algebraic
𝐾-theory of a group ring. Following the approach of Bunke-Kasprowski-Winges, we work
on a generalized version of the Farrell-Jones isomorphism conjecture that is stated in
the setting of ∞-categories. Using tools from the theory of noncommutative motives we
were able to show that the Farrell-Jones isomorphism conjecture holds, under certain
conditions, for finitary localising invariants. This result lead to the publication [75].
Esta tese consiste em duas partes. Na primeira parte melhoramos resultados na conjectura nilpotente de Voevodsky, um problema de geometria algébrica. Na segunda parte melhoramos um resultado na conjectura de Farrell-Jones, um problema de topologia algébrica. A conjectura nilpotente de Voevodsky afirma que as relações de equivalência nilpotente e numérica nos ciclos algébricos de um esquema próprio e suave identificam-se. Bernardara-Marcolli-Tabuada generalizaram este problema para o contexto de categorias diferenciais graduadas e mostraram que a conjectura é válida para certas fibrações quádricas, intersecções de quádricas, secções lineares de variedades Grassmanianas e determinantais, e variedades de Moishezon. Mais tarde, Ornaghi-Pertusi provaram que a conjectura é válida para variedades cúbicas e de Gushel-Mukai de dimensão quarto. Trabalhando no contexto de categorias diferenciais graduadas, melhorámos estes resultados ao provar que as relações de equivalência algébrica e númerica identificam-se naqueles casos. Mais ainda, consideramos quocientes entre as relações de equivalências. Isto permite-nos não só que obtenhamos um refinamento dos resultados mencionados mas também que calculemos, por exemplo, o quociente entre as relações de equivalência racional e algébrica de certas variedades de dimensão cinco. Estes resultados levaram à pre-publicação [74]. A conjectura de Farrell-Jones afirma que a 𝐾-teoria algébrica da álgebra de grupo 𝑅𝐺, 𝑅 anel comutativo, determina-se pela 𝐾-teoria algébrica de 𝑅𝑉, com 𝑉 subgrupo virtualmente cíclico de 𝐺. Esta importante conjectura simplifica o cálculo da 𝐾-theory algébrica da álgebra de grupo. Seguindo o raciocínio de Bunke-Kasprowski-Winges, consideramos a conjectura de Farrell-Jones no contexto de categorias∞. Usando resultados da teoria de motivos não comutativos provamos, em certas condições, a conjectura de Farrell-Jones para invariantes finitários localizantes. Este resultado foi publicado em [75].
Esta tese consiste em duas partes. Na primeira parte melhoramos resultados na conjectura nilpotente de Voevodsky, um problema de geometria algébrica. Na segunda parte melhoramos um resultado na conjectura de Farrell-Jones, um problema de topologia algébrica. A conjectura nilpotente de Voevodsky afirma que as relações de equivalência nilpotente e numérica nos ciclos algébricos de um esquema próprio e suave identificam-se. Bernardara-Marcolli-Tabuada generalizaram este problema para o contexto de categorias diferenciais graduadas e mostraram que a conjectura é válida para certas fibrações quádricas, intersecções de quádricas, secções lineares de variedades Grassmanianas e determinantais, e variedades de Moishezon. Mais tarde, Ornaghi-Pertusi provaram que a conjectura é válida para variedades cúbicas e de Gushel-Mukai de dimensão quarto. Trabalhando no contexto de categorias diferenciais graduadas, melhorámos estes resultados ao provar que as relações de equivalência algébrica e númerica identificam-se naqueles casos. Mais ainda, consideramos quocientes entre as relações de equivalências. Isto permite-nos não só que obtenhamos um refinamento dos resultados mencionados mas também que calculemos, por exemplo, o quociente entre as relações de equivalência racional e algébrica de certas variedades de dimensão cinco. Estes resultados levaram à pre-publicação [74]. A conjectura de Farrell-Jones afirma que a 𝐾-teoria algébrica da álgebra de grupo 𝑅𝐺, 𝑅 anel comutativo, determina-se pela 𝐾-teoria algébrica de 𝑅𝑉, com 𝑉 subgrupo virtualmente cíclico de 𝐺. Esta importante conjectura simplifica o cálculo da 𝐾-theory algébrica da álgebra de grupo. Seguindo o raciocínio de Bunke-Kasprowski-Winges, consideramos a conjectura de Farrell-Jones no contexto de categorias∞. Usando resultados da teoria de motivos não comutativos provamos, em certas condições, a conjectura de Farrell-Jones para invariantes finitários localizantes. Este resultado foi publicado em [75].
Descrição
Palavras-chave
Algebraic cycles Voevodsky nilpotence conjecture Homological projective duality noncommutative motives Farrell-Jones isomorphism conjecture quotients of equivalence relations