Otimização topológica de estruturas apli- cada à resolução de problemas min-max

Abstract

No âmbito da engenharia mecânica, pode-se pensar em diversos problemas de otimização que exigem a minimização do máximo de uma dada quantidade física, por exemplo as tensões ou deslocamentos a que uma estrutura está sujeita. Assim, neste trabalhado pretende-se desenvolver uma metodologia capaz de resolver eficientemente este tipo de problemas de otimização, designados na literatura por min-max. Existem diferentes formas de resolver este tipo de problemas, tais como a aplicação da conhecida bound formulation que pode ser combinada com o método da Lagrangeana Aumentada, ou através da agregação das diferentes funções numa função contínua e diferenciável que devolve o valor máximo das funções agregadas, como por exemplo o p-mean, p-norm, ou a função Kreisselmeier-Steinhause. Neste trabalho exploraram-se essas técnicas para a resolução de problemas de otimização min-max. Primeiramente, resolve-se um conjunto de problemas de natureza analítica, com o objetivo de se investigar e validar as técnicas mencionadas. Nesta classe de problemas, as funções utilizadas são definidas através de expressões matemáticas simples, sem qualquer significado físico. Posteriormente, resolve-se um problema de otimização topológica baseado na minimização do máximo da tensão, primeiro utilizando apenas um material (SMTO), e depois utilizando-se materiais com gradiente de funcionalidade (FGMO). Para esta última classe de problemas apenas se utilizou a bound formulation combinada com Lagrangeana Aumentada. Com a aplicação desta metodologia inovadora foi possível evitar bottlenekcs reduzindo o custo computacional por iteração, verificando uma redução significativa de tempo de otimização total em exemplos que, na fase de otimização, possuem um custo computacional elevado por iteração, sendo isto bastante vantajoso a nível de custo computacional.

In the field of mechanical engineering, numerous optimization problems arise that require minimizing the maximum value of a given physical quantity, such as stresses or displacements experienced by a structure. This work aims to develop a methodology capable of efficiently solving this type of optimization problem, commonly referred to in the literature as min-max. There are various approaches to solve these problems, such as using the well-known bound formulation combined with the Augmented Lagrangian method, or by aggregating dif- ferent functions into a continuous and differentiable function that returns the maximum value of the aggregated functions, like p-mean, p-norm, or the Kreisselmeier-Steinhauser function. In this study, these techniques were explored to address min-max optimization problems. First, a set of analytical problems was solved to investigate and validate the mentioned techniques. In this type of problem, functions are defined through simple mathematical expressions without any physical meaning. Later, a topology optimization problem focused on minimizing maximum stress was solved, first using a single material (SMTO), and then using functionally graded materials (FGMO). For this latter class of problems, only the bound formulation combined with the Augmented Lagrangian was used. The application of this innovative methodology allowed the avoidance of bottlenecks by reducing the computational cost per iteration, resulting in a significant reduction in total optimization time in examples where, during the optimization phase, the computational cost per iteration is high. This proved to be very advantageous in terms of computational efficiency.