Teoria de Fredholm de operadores discretos deWiener-Hopf

Abstract

Na impossibilidade de determinar se um operador é invertível, procuramos saber se um operador é de Fredholm. Nesta dissertação, o nosso objetivo é estudar a propriedade de Fredholm de operadores discretos de Wiener-Hopf no espaço de Banach `p(Z+), com 1 < p <1. Otto Toeplitz provou, em 1911, que a matriz de Toeplitz induz um operador limitado em `2(Z+) se, e apenas se, as suas entradas são coeficientes de Fourier de uma função limitada no círculo unitário - o símbolo do operador. Partimos deste famoso resultado e da álgebra de Banach dos multiplicadores para estendermos o operador discreto de Wiener-Hopf aos espaços de Banach `p(Z+), com 1 < p < 1. Através da desigualdade de Stechkin, provamos que se o símbolo do operador discreto de Wiener-Hopf é o limite de polinómios trigonométricos na álgebra de Banach dos multiplicadores, então o operador é de Fredholm em `p(Z+) se, e só se, o seu símbolo não se anula no círculo unitário. Mais, o número de voltas que a curva do símbolo realiza em torno da origem está estritamente relacionado com o índice do operador. Para atingirmos este objetivo, começamos inevitavelmente por abordar a componente teórica. Estudamos, em particular, o Princípio local de Gohberg-Krupnik e os operadores compactos que são ferramentas fundamentais para o desenvolvimento da teoria de Fredholm.

In the impossibility of determining whether an operator is invertible, we seek to know whether an operator is Fredholm. In this dissertation, we aim to study the Fredholm property of discrete Wiener-Hopf operators on the Banach space `p(Z+) with 1 < p <1. Otto Toeplitz proved in 1911 that a Toeplitz matrix induces a bounded operator on `2(Z+) if and only if its entries are Fourier coefficients of a bounded function on the unit circle - the operator’s symbol. We start from this famous result and from the Banach algebra of multipliers to extend the discrete Wiener-Hopf operator to the Banach spaces `p(Z+) with 1 < p < 1. Using Stechkin’s inequality, we prove that if the symbol of the discrete Wiener-Hopf operator is the limit of trigonometric polynomials in the Banach algebra of multipliers, then the operator is Fredholm on `p(Z+) if and only if its symbol has no zeros on the unit circle. Further, the number of turns that the symbol curve makes around the origin is strictly related to the index of the operator. To achieve this goal, we inevitably start by addressing the theoretical component. We study, in particular, the Gohberg-Krupnik local principle and the compact operators which are fundamental tools for the development of Fredholm’s theory.