Stochastic Partial Differential Equations and Applications in Bayesian Inference

Abstract

This work is devoted to the study of stochastic partial differential equations and its applications in Bayesian inference. Essentially it is composed by two essential parts: In the first part, we study a stochastic non-linear partial differential equation from the theoretical point of view, and in the second one we perform a Bayesian analysis based on a specific stochastic linear partial differential equation. The former problem to be addressed has its roots in fluid dynamics. More precisely, we consider the equation which governs the time evolution of a third grade non-Newtonian fluid, filling a two-dimensional non axisymmetric bounded domain, perturbed by a multiplicative white noise. We recall that the stochastic third grade fluid equation can be considered as a generalization of the stochastic Navier-Stokes equations, so we are faced with a strongly nonlinear stochastic partial differential equation and its analysis is not an easy issue. Considering initial conditions in the Sobolev space H2, and a Navier slip boundary condition, we show the existence and the uniqueness of the strong solution (in the stochastic sense). To show the existence of the solution, we first construct a sequence of solutions for the finite dimensional approximate problems, by using the finite dimensional Galerkin approximation method. Next, we pass to the limit by using a conjugation of compactness results and a uniqueness type argument. Let us mention that the study of stochastic fluid dynamics equations, where the solutions correspond to stochastic processes defined on some probability space, with sample paths on appropriate functional spaces is crucial for the statistical description of turbulent flows. In contrast to the usual deterministic individual solutions, in this framework each solution should correspond to a collection of possible realizations, and a probability of certain occurrences should be determined. As many fluids used in the industry are classified as third grade non- Newtonian fluid, we hope that our result will have practical consequences in the analysis of turbulence flows. As far as we know, this is the first time that the stochastic third grade fluid equation is being studied in the literature. The second problem to be studied consists on the application of the INLA methodology to perform Bayesian inference, considering a certain linear stochastic partial differential equation, which has a solution with a Matérn covariance. We recall that the Matérn covariance has a central role in spatial statistics, since it successfully captures the spatial behaviour of a wide number of phenomena. We consider a Gaussian vector field modelling the velocity of the wind and perform a Bayesian analysis to approximate the mean of the wind velocity field through the INLA methodology, combined with stochastic partial differential equations (SPDE). We emphasize that the behaviour of the wind velocity field is crucial in the weather forecast. We expect that this new statistical method will improve the classical methods mainly based on the numerical analysis of complex fluid dynamic equations.

O presente trabalho é dedicado ao estudo de equações diferenciais parciais estocásticas e à sua aplicação na inferência Bayesiana. É composto essencialmente por duas partes. Na primeira parte estudamos uma equação diferencial parcial estocástica não-linear do ponto de vista teórico, e na segunda parte aplicamos os princípios da inferência Bayesiana à estimação usando uma equação diferencial parcial estocástica linear. O primeiro problema a ser estudado tem as suas origens na dinâmica dos fluidos. Mais precisamente, consideramos a equação que descreve a evolução de um fluido não- Newtoniano de terceiro grau, num domínio bi-dimensional limitado e não axissimétrico, perturbada por um ruído branco. A equação estocástica de fluidos de terceiro grau pode ser considerada como uma generalização da equação de Navier-Stokes, estamos perante uma equação diferencial parcial estocástica fortemente não linear, cuja análise é uma tarefa difícil. Considerando a condição inicial no espaço de Sobolev H2 , e uma condição de fronteira de deslizamento do tipo Navier, mostramos a existência e unicidade de solução forte (no sentido estocástico). Para mostrar a existência de solução, construímos primeiro uma sucessão de soluções para o problema aproximado em dimensão finita, usando o método de aproximação de Galerkin. A seguir é feita a passagem ao limite, através de resultados de compacidade, e um argumento de unicidade. Referimos também que o estudo de equações estocásticas de fluidos, cujas soluções correspondem a processos estocásticos definidos num determinado espaço de probabilidade, com trajetórias em espaços funcionais apropriados, é crucial na descrição de fluxos turbulentos. No contexto estocástico, cada solução da equação corresponde a uma coleção de possíveis realizações, pelo que a probabilidade de ocorrência de certas realizações pode ser determinada. Uma vez que muitos fluidos usados na indústria são classificados como fluidos não-Newtonianos de terceiro grau, esperamos que os nossos resultados venham a ter aplicação na análise da turbulência de fluidos. Tanto quanto pudemos constatar, esta é a primeira vez que a equação estocástica de fluidos de terceiro grau é estudada na literatura. O segundo problema a ser estudado consiste na aplicação da metodologia INLA, que é especialmente adequada para fazer inferência Bayesiana, combinada com a utilização de determinada equação diferencial parcial estocástica, cuja solução apresenta covariância de Matérn. A covariância de Matérn tem um papel central na estatística espacial, uma vez que descreve significativamente bem vários fenómenos de natureza espacial. Neste trabalho, consideramos que a velocidade do vento é modelada por um campo vetorial aleatório Gaussiano, e aproximamos a média do campo de velocidades aplicando os princípios da inferência Bayesiana, através da metodologia INLA combinada com SPDE. Salientamos que a velocidade do vento é crucial na previsão do tempo, então esperamos que esta nova abordagem estatística, venha a melhorar os métodos usuais de previsão, baseados na análise numérica das equações de fluidos.