Algebraic Theory of Quasi-crystals: A Generalization of the Hypoplactic Monoid and a Littelmann Path Model

Abstract

The plactic monoid was first introduced by Lascoux and Schützenberger based on work by Schensted and Knuth, resulting in a description of the plactic monoid by a presentation and by Young tableaux and an insertion algorithm. Then, due to work by Kashiwara on crystal bases, the plactic monoid was obtained by identifying vertices in the crystal graph associated to the general linear Lie algebra. This process proved to be fruitful, as it enriched the structure of the already acclaimed plactic monoid and allowed its generalization based on other crystal graphs. Analogously, the hypoplactic monoid was introduced by Krob and Thibon via a presentation and via quasi-ribbon tableaux and an insertion algorithm. Recent work by Cain and Malheiro showed a construction of the hypoplactic monoid by identifying vertices in a quasi-crystal graph derived from the crystal graph associated to the general linear Lie algebra. Although this construction is based on Kashiwara’s work, it cannot be extended to other crystal graphs, and it lacks connections to representation theory such as a Littelmann path model. In this thesis we present an algebraic theory of quasi-crystals. We associate a quasi-crystal graph to each quasi-crystal and describe a one-to-one correspondence between seminormal quasi-crystals and quasi-crystal graphs. We show that a hypoplactic congruence can be defined over any seminormal quasi-crystal, from which a general notion of hypoplactic monoid emerges. We prove that the construction of the hypoplactic monoid proposed by Cain and Malheiro can be placed in context as the hypoplactic monoid associated with the general linear Lie algebra. Based on this framework, we make a study of the hypoplactic monoid associated to the symplectic Lie algebra. Finally, We present a Littelmann path model for quasi-crystals.

O monoide pláctico foi inicialmente introduzido por Lascoux e Schützenberger baseado em trabalhos de Schensted e Knuth, resultando numa descrição do monoide pláctico por uma apresentação e pelos quadros de Young com um algoritmo de inserção. Posteriormente, pelos trabalhos de Kashiwara em bases cristal, o monoide pláctico foi obtido através da identificação de vértices no grafo cristal associado à álgebra de Lie linear geral. Este processo mostrou-se frutuoso, dado que enriqueceu a estrutura do já reconhecido monoide pláctico e, adicionalmente, permitiu a sua generalização associando-o a outros grafos cristal. Analogamente, o monoide hipopláctico foi introduzido por Krob e Thibon através de uma apresentação e de quadros quase-fita com um algoritmo de inserção. Em trabalhos recentes de Cain e Malheiro, o monoide hipopláctico foi obtido pela identificação de vértices num grafo quase-cristal, derivado do grafo cristal associado à álgebra de Lie linear geral. Embora com base em trabalhos de Kashiwara, esta construção não se aplica a outros grafos cristal e não tem conexões à Teoria das Representações, tais como um modelo de caminhos de Littelmann. Nesta tese, apresenta-se uma Teoria Algébrica dos Quase-cristais. Associa-se um grafo quase-cristal a cada quase-cristal e descreve-se uma correspondência bijectiva entre quase-cristais seminormais e grafos quase-cristal. Mostra-se que se pode definir uma congruência hipoplactica sobre um qualquer quase-cristal seminormal, donde resulta um conceito geral de monoide hipopláctico. Prova-se que a construção proposta por Cain e Malheiro é equivalente à construção do monoide hipopláctico associado à álgebra de Lie linear geral. Com base nesta abordagem, estuda-se o monoide hipopláctico associado à álgebra de Lie simpléctica. Por fim, descreve-se um modelo de caminhos de Littelmann para os quase-cristais.