Algebras of Convolution Type Operators on Weighted Variable Lebesgue Spaces

Abstract

We prove a version of the Riesz-Thorin interpolation theorem for some types of weighted variable Lebesgue spaces. In order to do this we use the theory developed by Calderón in his 1964 article, together with some Banach function space theory. Using our version of the Riesz-Thorin theorem, we prove a version of the Stechkin inequality forweighted variable Lebesgue spaces, allowing us to define algebras of Fourier multipliers arising from functions of bounded variation. After analyzing the invertibility of Fourier convolution operators with piecewise continuous symbols, we shift our attention to slowly oscillating Fourier multipliers, finishing with a proof that the image in the Calkin algebra of the algebra of convolution type operators with slowly oscillating data is commutative.

Provamos uma versão do teorema de interpolação de Riesz-Thorin para alguns tipos de espaços de Lebesgue com expoente variável e peso. De forma a atingir este objectivo, usamos a teoria desenvolvida por Calderón no seu artigo de 1964. Usando a versão do teorema de Riesz-Thorin obtida, provamos uma versão da desigualdade de Stechkin para espaços de Lebesgue com expoente variável e peso. Isto permite-nos definir álgebras de multiplicadores de Fourier associados a funções de variação limitada. Após analisada a invertibilidade dos operadores de convolução com símbolos contínuos por troços, deslocamos a nossa atenção para multiplicadores de Fourier fracamente oscilantes. Terminamos com a prova de que a imagem na álgebra de Calkin da álgebra de operadores tipo convolução com dados fracamente oscilantes é comutativa.