g0003g0003
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g0003
g0003
g0003
g002cg0030g0033g002fg0028g0030g0028g0031g0037g0024g0064g00adg0032g0003g0031g0038g0030g0065g0035g002cg0026g0024g0003g0037g0035g002cg0027g002cg0030g0028g0031g0036g002cg0032g0031g0024g002fg0003
g0027g0032g0003g0037g0028g0032g0035g0028g0030g0024g0003g0026g002cg0031g0028g0030g00c8g0037g002cg0026g0032g0003g0027g0024g0003g0024g0031g00c8g002fg002cg0036g0028g0003g002fg002cg0030g002cg0037g0028g0003
g0003
g0003
g0003
g0037g0048g0056g0048g0003g0044g0053g0055g0048g0056g0048g0051g0057g0044g0047g0044g0003g006ag0003g0029g0044g0046g0058g004fg0047g0044g0047g0048g0003g0047g0048g0003g0026g004cg0072g0051g0046g004cg0044g0056g0003g0048g0003g0037g0048g0046g0051g0052g004fg0052g004ag004cg0044g0003g0003
g0047g0044g0003g0038g0051g004cg0059g0048g0055g0056g004cg0047g0044g0047g0048g0003g0031g0052g0059g0044g0003g0047g0048g0003g002fg004cg0056g0045g0052g0044g0003g000bg0029g0026g0037g0010g0038g0031g002fg000cg0003
g0053g0044g0055g0044g0003g0044g0003g0052g0045g0057g0048g0051g006fg006dg0052g0003g0047g0052g0003g004ag0055g0044g0058g0003g0047g0048g0003g0027g0052g0058g0057g0052g0055g0003g0048g0050g0003g0028g0051g004ag0048g0051g004bg0044g0055g004cg0044g0003g0026g004cg0059g004cg004fg0003
g0003g0051g0044g0003g0048g0056g0053g0048g0046g004cg0044g004fg004cg0047g0044g0047g0048g0003g0047g0048g0003g0028g0056g0057g0055g0058g0057g0058g0055g0044g0056g0003
g0003
g0003
g0003
g0003
g0030g00c8g0035g002cg0032g0003g002dg0032g0035g002ag0028g0003g0039g002cg0026g0028g0031g0037g0028g0003g0027g0024g0003g0036g002cg002fg0039g0024g0003
g0030g0048g0056g0057g0055g0048g0003g0048g0050g0003g0028g0051g004ag0048g0051g004bg0044g0055g004cg0044g0003g0047g0048g0003g0028g0056g0057g0055g0058g0057g0058g0055g0044g0056g0003
g0003
g0003
g0003
g0003
g0003
g0032g0055g004cg0048g0051g0057g0044g0047g0052g0055g0003g0026g004cg0048g0051g0057g0074g0049g004cg0046g0052g0003
g0033g0035g0032g0029g0028g0036g0036g0032g0035g0003g0027g0032g0038g0037g0032g0035g0003g0024g0035g0030g0024g0031g0027g0032g0003g0030g0024g0031g0038g0028g002fg0003g0036g0028g0034g0038g0028g002cg0035g0024g0003g0003
g0031g0038g0031g0028g0036g0003g0024g0031g0037g00adg0032g0003
g0003
g0003
g0003
g0003
g0003
g0003
g0003
g002fg004cg0056g0045g0052g0044g000fg0003g0015g0013g0013g001cg0003
Aos meus pais.
i
Resumo
A Análise Limite tem vindo a demonstrar um vasto potencial para o desenvolvimento
de modelos numéricos que permitem a determinação da máxima carga suportada
por uma estrutura caracterizada por um comportamento plástico.
Neste trabalho é proposta uma formulação que, baseada no Teorema Cinemático da
Análise Limite, visa o cálculo de limites superiores estritos de cargas de colapso. O
campo das velocidades é aproximado através de funções nodais lineares ou quadráhyphen.alt
ticas, utilizando-se uma outra aproximação local, independente da primeira, para
aproximar o campo da taxa de deformação no domínio de cada elemento. A compahyphen.alt
tibilidade entre os campos aproximados é estabelecida com o recurso ao método do
Lagrangeano Aumentado. A utilização simultânea desta duas aproximações confere
à formulação a denominação de Mista. A abordagem descrita origina um problema
de optimização, o qual é resolvido através de uma variante do algoritmo iterativo de
Uzawa.
Propõe-se ainda uma variante deste modelo, na qual é introduzida uma aproximahyphen.alt
ção adicional na fronteira dos elementos. Esta terceira aproximação interpola a
velocidade relativa entre elementos adjacentes, possibilitando a introdução de deshyphen.alt
continuidades na formulação e conferindo-lhe uma característica híbrida e mista. É
ainda estudado um modo alternativo de introdução de descontinuidades no modelo
com base num agrupamento de elementos degenerados de espessura nula.
Explorando características inerentes ao algoritmo iterativo utilizado, recorre-se a
técnicas de processamento paralelo de modo a conferir à implementação do modelo
elevadas capacidades de cálculo. O modelo desenvolvido revela uma grande versatihyphen.alt
lidade permitindo obter estimativas de elevadas qualidade para um vasto conjunto
de problemas, não só bidimensionais mas também tridimensionais, contemplando
diversos tipos de materiais com diferentes critérios de cedência.
ii
iii
Abstract
Limit Analysis Theorems has revealed to be a powerful tool for the development of
numerical models aiming the determination of the load bearing capacity of structures
reached by plastic collapse.
This work presents a numerical formulation for the computation of strict upper
bounds of the collapse loads of rigid-perfectly plastic mechanical systems, derived
within the kinematical theorem framework. The developed formulation is derived
using two simultaneous and independent field approximations, one for the velocity
field and the other for strain rate field. Hence the formulation is denoted as Mixed.
To enforce the compatibility between the two approximated fields, the augmented
Lagrangian method is used. The outcome of this approach is a non-linear minimizahyphen.alt
tion problem, which is solved using a variant of the Uzawa’s minimization algorithm
with relaxation.
A variant of this model, using a third independent approximation field at the elehyphen.alt
ments boundaries, is also presented. The latter approximation deals with the relative
velocity field and enables the introduction of discontinuities on the formulation. This
new discontinuous upper bound formulation is considered to be an Hybrid-Mixed
model. As an alternative, discontinuities can be introduced in the model resorting
to a patch of degenerated elements with a null thickness.
It is shown that the intrinsic characteristics of the adopted minimization algorithm
are proved to be suitable to adapt it to an efficient parallelization scheme. By
adopting this parallel processing approach it is possible to solve very large problems
which normally exceed the memory capacities of a single computer. The developed
numerical tool reveals to be robust and versatile, able to solve a wide range of
both 2D and 3D problems and to handle several type of materials characterized by
different yielding criteria.
iv
v
Palavras Chave
Análise Limite
Teorema cinemático
Lagrangeano Aumentado
Elementos Finitos
Modelo Misto
Keywords
Limit Analysis
Kinematic (Upper Bound) Theorem
Augmented Lagrangian
Finite elements
Mixed model
vi
vii
Agradecimentos
A realização desta tese foi parcialmente financiada pela Fundação para a Ciência e
Tecnologia através de uma Bolsa de Doutoramento. Foi ainda inserida no projecto
de investigação PTDC/ECM/70368/2006.
Não me seria possível conceber a realização desta tese sem o contributo directo
ou indirecto que recebi de diversas pessoas, às quais gostaria de expressar o meu
agradecimento. Contudo, não posso deixar fazer uma menção especial a algumas
dessas pessoas.
Começo por agradecer à pessoa que mais contribuiu para a realização deste trabalho,
o Professor Armando Antão, meu orientador científico. Aqui expresso o meu sincero
agradecimento por tudo que me ajudou e ensinou ao longo destes 4 anos e por me ter
dado a liberdade de experimentar e seguir praticamente todos os caminhos que quis,
mesmo aqueles cuja condução ao fracasso era mais previsível. Aprende-se muito a
errar! Acima de tudo agradeço a sua amizade.
Às Professoras Paula Amaral e Isabel Correia do Departamento de Matemática, que
me deixaram assistir à suas disciplinas de Optimização do Mestrado em Matemática,
contribuindo para a minha formação nesta área.
Ao Professor Antonio Capsoni que me recebeu no Politecnico di Milano e com quem
ainda hoje colaboro.
Agradeço ao Professor Scott Sloan, ao Kristian Krabbenhøft, ao Dorival Pedroso e a
todos com quem trabalhei na Universidade de Newcastle. Esta foi sem dúvida uma
experiência maravilhosa.
Ao Professor Nuno Guerra pelo apoio e colaboração em trabalhos que contribuiram
para o desenvolvimento desta tese.
Ao André Barbosa, cuja contribuição para este trabalho não pode deixar de ser
mencionada, disponibilizando-me muitos artigos a que, de outro modo, dificilmente
teria acesso. Agradeço igualmente ao Professor Rocha de Almeida, que tentou aceder
sempre que possível a todos os meus pedidos. Ambos deram sem dúvida uma ajuda
valiosa.
Agradeço também aos meus colegas e companheiros de gabinete, o Filipe Santos e
viii
o Zé Nuno Varandas, com quem trabalhar é verdadeiramente um prazer.
A todos os meus amigos, e em especial à Xana, ao JP, ao Vitor, que me proporciohyphen.alt
naram imprescindíveis horas de descontracção que tornaram mais fáceis os períodos
difíceis.
Para terminar, não posso deixar de agradecer à minha família. Particularmente aos
meus pais, à minha avó, ao André, à Nina e ao Nuno, agradeço o incentivo e carinho
que deles sempre recebi. Para finalizar e muito em especial, gostaria de agradecer
à Inês por todo o amor e toda a paciência (infinita, nestes últimos meses) que me
tem dedicado e pela disponibilidade que sempre demonstrou para reler este trabalho
ajudando a detectar e corrigir erros no texto.
Índice
Resumo i
Abstract iii
Palavras Chave v
Keywords v
Agradecimentos vii
Lista de figuras xv
Lista de tabelas xix
1 Introdução 1
1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Organização do documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Nota final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
ix
x ÍNDICE
2 Definição do Problema 9
2.1 Considerações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Revisão de conceitos da Teoria da Plasticidade . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Princípio do trabalho plástico máximo . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Escoamento plástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2.1 Descontinuidades no campo de velocidades . . . . . . 16
2.2.3 Funções de dissipação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3.1 Critério de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3.2 Critério de von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3.3 Critério de Mohr-Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3.4 Critério de Drucker-Prager . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3.5 Dissipação em superfícies de escorregamento . . . . . 19
2.3 Análise Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Definição do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Revisão bibliográfica 29
3.1 Formulações de limite superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Formulações de limite inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Descontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Adaptividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Formulação de elementos finitos 37
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
ÍNDICE xi
4.2 Formulação inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.1 Modelo Misto de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.2 Algoritmo de programação matemática . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.2.1 Minimização global (FASE 1) . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.2.2 Minimização local (FASE 2) . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.3 Observações finais sobre a formulação inicial . . . . . . . . . . 48
4.2.3.1 Majorantes rigorosos de cargas de colapso . . . . . . 48
4.2.3.2 Problemas de locking . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.3.3 Determinação de cargas de colapso . . . . . . . . . . 49
4.3 Formulação dual do modelo inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3.1 Estratégia de resolução do problema dual . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Formulação proposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4.1 Normalização do trabalho do carregamento variável . . . . . . 59
4.4.2 Formulação forte e elementos quadráticos . . . . . . . . . . . . 62
4.4.2.1 Funções de aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4.2.2 Minimização Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4.2.3 Minimização Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.3 Descontinuidades no campo de velocidades . . . . . . . . . . . 68
4.4.3.1 Elementos degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4.3.2 Formulação Híbrida/Mista . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.4 Modificações do algoritmo de Uzawa . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Implementação numérica 81
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
xii ÍNDICE
5.2 Minimização global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3 Estratégias de minimização local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.3.1 Minimização local para o critério de Tresca . . . . . . . . . . . 84
5.3.1.1 Problemas sólidos 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3.1.2 Problemas de estados planos de deformação . . . . . 85
5.3.1.3 Introdução de uma truncatura em tracção . . . . . . 86
5.3.2 Minimização local para o critério de von Mises . . . . . . . . . 87
5.3.2.1 Problemas sólidos 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3.2.2 Problemas de estados planos de deformação . . . . . 89
5.3.2.3 Problemas de estados planos de tensão . . . . . . . . 89
5.3.3 Minimização local para o critério de Mohr-Coulomb . . . . . . 90
5.3.3.1 Problemas de estados planos de deformação . . . . . 93
5.3.4 Minimização local para o critério de Drucker-Prager . . . . . . 94
5.3.4.1 Problemas sólidos 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3.4.2 Problemas de estados planos de deformação . . . . . 96
5.3.5 Minimização local para as descontinuidades . . . . . . . . . . 96
5.3.5.1 Materiais friccionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3.5.2 Materiais puramente coesivos . . . . . . . . . . . . . 101
5.4 Corpos Rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.5 Pós-processamento da solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6 Processamento paralelo 107
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2 Paralelização do algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
ÍNDICE xiii
6.2.1 Considerações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2.2 Paradigma Master/Slaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.3 Resolução do sistema governativo global . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3.1 Método de subestruturação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.3.2 Método de subestruturação recursiva . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3.3 Algoritmo PSPASES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.3.4 Método FETI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.3.4.1 Interpretação do significado físico . . . . . . . . . . . 127
6.3.4.2 Pormenores da implementação do método . . . . . . 128
7 Aplicações Numéricas 131
7.1 Chapa com furo circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.1.1 Análise com elementos 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.1.2 Análise com elementos 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.1.2.1 Descontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.2 Capacidade de carga de fundações superficiais . . . . . . . . . . . . . 148
7.2.1 Sapata circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.2.2 Sapatas quadrada e rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.2.2.1 Introdução de descontinuidades . . . . . . . . . . . . 168
7.2.3 Análise do desempenho da implementação paralela . . . . . . 171
7.2.3.1 Teste I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.2.3.2 Teste II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.2.3.3 Teste III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.2.3.4 Discussão dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . 179
xiv ÍNDICE
7.3 Ligações de perfis metálicos tubulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.3.1 Considerações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.3.2 Análise de duas ligações tubulares em K . . . . . . . . . . . . 183
8 Conclusões e desenvolvimentos futuros 193
8.1 Desenvolvimentos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.2 Nota final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Bibliografia 199
Lista de Figuras
2.1 Consequências do PTPM: (a) normalidade; (b)convexidade . . . . . 13
2.2 Dissipação numa superfície de cedência não estritamente convexa . . 14
2.3 Representação da lei de escoamento associado . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Representação gráfica das superfícies de cedência . . . . . . . . . . . 17
2.5 Superfície de escorregamento: velocidade relativa . . . . . . . . . . . 20
2.6 Descontinuidade com o critério de Tresca truncado em tracção . . . . 21
2.7 Domínio dos carregamentos admissíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.8 Construção da superfície, g(σ) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Malha com elementos orientados em forma de leque . . . . . . . . . . 36
4.1 Trajectória de carregamento linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Algoritmo de pesquisa do parâmetro de carga de colapso óptimo . . . 40
4.3 Variante do algoritmo de Uzawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Arranjo de elementos 2D e 3D para mitigar o efeito de locking . . . . 50
4.5 Decomposição do vector, µi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6 Elementos degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.7 Modelação de uma descontinuidade linear com elementos degenerados 71
xv
xvi LISTA DE FIGURAS
4.8 Fronteira com descontinuidade entre dois elementos adjacentes . . . . 73
4.9 Variante final do algoritmo de Uzawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1 Isolinhas no referencial (x1,x2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2 Face de projecção para o critério de Mohr-Coulomb . . . . . . . . . . 91
5.3 Espaço das soluções admissíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4 Funções aproximação para descontinuidades 2D . . . . . . . . . . . . 97
5.5 Funções aproximação para descontinuidades 3D . . . . . . . . . . . . 98
5.6 Projecção sobre a superfície do espaço das soluções admissíveis . . . . 101
5.7 Graus liberdade de um corpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.8 Subdivisão de um elemento triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1 Ilustração das estratégias de partição de domínio para 2 subdomínios 111
6.2 Diagrama do algoritmo paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.3 Ilustração da condensação progressiva dos graus de liberdade . . . . . 118
6.4 Ilustração do método de substruturação recursiva . . . . . . . . . . . 119
6.5 Padrão de comunicações e o faseamento da eliminação de fronteiras . 121
6.6 Partição do domínio pelo método FETI . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.1 Chapa com furo circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.2 Discretização da chapa com furo circular com elementos 2D . . . . . . 134
7.3 Resultados obtidos para a Malha 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.4 Tipos de malhas utilizadas na análise 3D . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.5 Resultados para o caso de carga α = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.6 Resultados para o caso de carga α = 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
LISTA DE FIGURAS xvii
7.7 Resultados para o caso de carga α = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.8 Relação entre os graus de liberdade globais e locais . . . . . . . . . . 141
7.9 Solução 3D para o caso de carga α = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.10 Evolução da carga de colapso com o tempo, α = 1 . . . . . . . . . . . 143
7.11 Evolução da carga de colapso com o tempo, α = 12 . . . . . . . . . . . 143
7.12 Evolução da carga de colapso com o tempo, α = 0 . . . . . . . . . . . 143
7.13 Placa com superfície de escorregamento orientada a 45o . . . . . . . . 146
7.14 Modelo da sapata circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.15 Malhas tipo para a análise da sapata circular . . . . . . . . . . . . . . 150
7.16 Evolução do erro da solução para o material Tresca . . . . . . . . . . 151
7.17 Evolução do erro da solução para φ = 10◦ . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.18 Evolução do erro da solução para φ = 20◦ . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.19 Evolução do erro da solução para φ = 30◦ . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.20 Evolução do erro da solução para φ = 40◦ . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.21 Ilustração da convergência do algoritmo de Uzawa . . . . . . . . . . . 155
7.22 Coeficiente de capacidade de carga Nc . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.23 Dissipação plástica nas sapatas circulares . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.24 Exemplo de malhas tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.25 Evolução do valor de Nc com refinamento da malha . . . . . . . . . . 161
7.26 Dissipação plástica nas sapatas quadradas e rectangulares . . . . . . . 165
7.27 Convergência do algoritmo de Uzawa para as sapatas quadradas . . . 167
7.28 Convergência do algoritmo de Uzawa para as sapatas rectangulares . 167
7.29 Identificação da região de elementos com descontinuidades . . . . . . 169
xviii LISTA DE FIGURAS
7.30 Mecanismo de colapso com descontinuidades para a sapata quadrada 170
7.31 Teste I - tempo total de cálculo dos algoritmos paralelos . . . . . . . 173
7.32 Teste I - Speedup total dos algoritmos paralelos . . . . . . . . . . . . 174
7.33 Teste II - tempo total de cálculo dos algoritmos paralelos . . . . . . . 176
7.34 Teste II - Speedup total dos algoritmos paralelos . . . . . . . . . . . . 176
7.35 Teste II - tempo médio por iteração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.36 Teste II - Speedup do tempo médio por iteração . . . . . . . . . . . . 177
7.37 Teste II - consumo de tempo da fase inicial . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.38 Representação de uma ligação tubular em K . . . . . . . . . . . . . . 183
7.39 Malha tipo da ligação tubular em K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.40 Solução da análise do modelo I (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.41 Solução da análise do modelo I (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.42 Solução da análise do modelo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.43 Colapso de uma ligação K originado na diagonal comprimida . . . . . 190
7.44 Influência do parâmetro de penalidade na convergência . . . . . . . . 191
Lista de Tabelas
4.1 Número de pontos para a imposição da condição de compatibilidade . 63
4.2 Resumo das características dos elementos finitos . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Pontos para a imposição da condição de compatibilidade na fronteira 75
7.1 Análise 2D da chapa com furo circular . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.2 Cargas de colapso para o problema da chapa com furo circular . . . . 136
7.3 Resumo das análises com elementos lineares . . . . . . . . . . . . . . 138
7.4 Resumo das análises com elementos quadráticos . . . . . . . . . . . . 140
7.5 Tempos de cálculo das análise 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.6 Malhas com elementos de descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.7 Caracterização dos materiais e parâmetros geométricos . . . . . . . . 150
7.8 Resultados do pós-processamento da solução . . . . . . . . . . . . . . 154
7.9 Cálculos do coeficiente Nc em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.10 Análise comparativa dos elementos lineares e quadráticos . . . . . . . 161
7.11 Características das malhas utilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.12 Valores dos coeficientes de capacidade de carga . . . . . . . . . . . . . 163
7.13 Tempos de cálculo para as sapatas quadradas e rectangulares . . . . . 168
xix
xx LISTA DE TABELAS
7.14 Resumo das informações sobre as sapatas com descontinuidades . . . 169
7.15 Número de iterações e solução pelo método de FETI . . . . . . . . . 175
7.16 Resumo de resultados da análise do desempenho paralelo . . . . . . . 180
7.17 Caracterização dos ensaios experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.18 Resumo dos valores da análise numérica . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.19 Resultados da influência do parâmetro de penalidade inicial . . . . . . 190
Capítulo 1
Introdução
1.1 Motivação
A motivação para o desenvolvimento do presente trabalho de investigação pode ser
enquadrada em duas vertentes distintas: a pessoal e a científica.
No aspecto pessoal, a vontade e o entusiasmo em desenvolver investigação na área da
Análise Limite surgiu de uma conversa informal com o Professor Armando Antão,
orientador científico deste trabalho. Embora fosse um assunto completamente novo
para mim, tinha vários pontos de contacto com outros temas que me interesavam,
nomeadamente, a utilização e implementação de formulações não convencionais de
elementos finitos. Foi o suficiente para despertar o meu interesse pelo tema.
No que concerne à vertente científica, existe um número significativo de aplicações
práticas na Engenharia Civil em que é relevante ser-se capaz de avaliar a máxima
carga suportada por uma determinada estrutura, denominada de carga de colapso.
Em determinadas condições, designadamente quando as estruturas apresentam uma
elevada ductilidade e são sujeitas a um tipo de carregamento não cíclico, a utilização
dos teoremas de Análise Limite revela-se adequada para o estudo destes problemas.
É neste âmbito que formulações numéricas desenvolvidas com base no quadro teóhyphen.alt
rico da Análise Limite representam invariavelmente uma estratégia eficiente e uma
alternativa competitiva às formulações baseadas em métodos de carregamentos inhyphen.alt
crementais.
1
2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
A obtenção de um majorante para a carga de colapso recorrendo ao Teorema Cihyphen.alt
nemático da Análise Limite requer o estabelecimento de um campo de velocidades
cinematicamente admissível1. Se, nesse campo de velocidades, a taxa do trabalho
das forças exteriores for superior à potência dissipada plasticamente, esse conjunto
de forças não será passível de ser suportado pela estrutura. Pelo contrário, se a
relação entre as potências referidas for a inversa, nada se poderá concluir acerca
do posicionamento do conjunto de forças em causa relativamente aos carregamentos
limites. Estas considerações fazem sobressair a necessidade de, para um dado conhyphen.alt
junto de forças, se ser capaz de determinar um campo de velocidades, dito óptimo,
que minimize a diferença entre as taxas de energia fornecida e dissipada, por forma
a obter o majorante da carga de colapso mais rigoroso possível.
Para a resolução do referido problema de minimização recorre-se usualmente a conhyphen.alt
ceitos e algoritmos provenientes da teoria da programação matemática. Inicialmente,
a determinação destes campos de velocidades óptimos era restrita à utilização de mehyphen.alt
canismos de formas relativamente simples, mais ou menos intuitivos, e controlados
através de um número reduzido de parâmetros sobre os quais era operada a minihyphen.alt
mização pretendida. Esta estratégia, embora demonstrasse ser capaz de produzir
resultados de notória qualidade para determinadas classes de problemas, tem como
grande limitação requerer um conhecimento prévio das características do modo de cohyphen.alt
lapso do problema em estudo. Outra desvantagem adicional deste método reside no
facto de um tipo de mecanismo que produza bons resultados para um determinado
problema não poder ser, em geral, aplicado a problemas análogos com diferentes
condições de carregamento e/ou características dos materiais.
Recentemente, tirando partido da grande evolução observada no campo da optimizahyphen.alt
ção, aliada ao notável crescimento da tecnologia informática, observa-se a tendência
para abandonar a abordagem anterior a favor do desenvolvimento de modelos de
elementos finitos capazes de estabelecer automaticamente campos de velocidades
óptimos, podendo lidar com problemas cujo número de variáveis de decisão é da
ordem das centenas de milhar.
Contudo, no caso dos problemas tridimensionais (3D), verifica-se que a obtenção
de estimativas de cargas de colapso de elevada precisão requer a utilização de um
número muito elevado de variáveis de decisão, usualmente denominados de graus de
1No decorrer do Capítulo 2 são estabelecidas com rigor as condições necessárias para garantir
a admissibilidade cinemática de um campo de velocidades
1.2. OBJECTIVO 3
liberdade na nomenclatura utilizada na mecânica computacional. Esta necessidade
de um número elevado de graus de liberdade conduz, não só a tempos elevados
de cálculo, mas também à limitação da qualidade dos resultados obtidos devido
ao esgotamento dos recursos de cálculo disponíveis num computador comum. O
reduzido número de resultados encontrados na literatura, relativos ao estudo de
problemas 3D é, em grande medida, reflexo do comentário anterior.
Este relativo insucesso dos métodos existentes revela que esta não é uma área de
investigação que se possa considerar como concluída, havendo ainda que explorar
soluções alternativas permitindo ultrapassar as limitações observadas actualmente.
1.2 Objectivo
O objectivo primordial desta tese consiste no desenvolvimento e implementação de
uma formulação mista de elementos finitos que permita a determinação rigorosa
de majorantes de cargas de colapso de sistemas mecânicos caracterizados por um
comportamente perfeitamente plástico. Adicionalmente, pretende-se que esta seja
suportada teoricamente pelo Teorema Cinemático da Análise Limite.
Para que este objectivo seja concretizado com sucesso, a ferramenta de cálculo dehyphen.alt
senvolvida deverá ser capaz de exibir:
i. robustez — garantia de convergência da solução para a grande maioria das
situações;
ii. versatilidade — capacidade de modelação e estudo de problemas com topologia,
materiais e carregamentos diversos;
iii. eficiência — tempo de cálculo reduzido, possibilitando a resolução de problehyphen.alt
mas com um número elevado de graus de liberdade. A resolução de problemas
3D com a sua inerente elevada complexidade confere a este aspecto particular
relevância.
Uma vez dispondo da referida ferramenta de cálculo totalmente operacional, torna-se
imprescindível proceder à análise de um número variado de problemas, validando
e comparando os resultados obtidos com valores anteriormente publicados. Esta
tarefa irá permitir aferir o desempenho e capacidades do modelo proposto.
4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
1.3 Metodologia
O quadro teórico estabelecido pela Análise Limite permite o desenvolvimento de
modelos numéricos para a determinação de estimativas de cargas de colapso de
estruturas, desde que estas últimas satisfaçam determinados requisitos. A aproxihyphen.alt
mação à carga de colapso pode ser feita de modo a garantir a obtenção de um
carregamento suportável, conduzindo a um minorante da carga de colapso. Neste
caso, o modelo é desenvolvido com base no denominado Teorema Estático, e é bahyphen.alt
seado na procura da carga máxima para a qual é possível obter uma distribuição
de esforços equilibrada. Em alternativa, o modelo pode procurar estabelecer uma
estimativa do carregamento limite através da determinação do menor carregamento
potencialmente não suportável, resultando assim na obtenção de um majorante da
carga de colapso. Neste caso, o modelo é desenvolvido a partir do Teorema Cinehyphen.alt
mático. É esta a abordagem aqui adoptada, que resulta da procura de um campo
de velocidades (não trivial) cinematicamente admissível que minimize a potência
dissipada plasticamente.
As características do problema que se propõe tratar fazem com que este resulte invahyphen.alt
riavelmente num problema de programação matemática não-linear de uma minimihyphen.alt
zação sujeita a restrições. Uma análise atenta do referido problema de minimização
permite concluir que as características não-lineares do mesmo advêm da expressão
da dissipação plástica ou da imposição da lei da normalidade do escoamento pláshyphen.alt
tico, ambas directamente afectas ao campo da taxa das deformações. Deste modo,
propõe-se a utilização de um modelo de elementos finitos misto que utiliza uma
aproximação global para o campo das velocidades e uma aproximação local ao nível
de cada elemento para a taxa das deformações.
Para proceder à compatibilização das aproximações adoptadas para os campos cinehyphen.alt
máticos é utilizado o método dos multiplicadores de Lagrange, seguindo a estratégia
proposta por Glowinski e Le Tallec [47]. Recorrendo a um método iterativo basehyphen.alt
ado no algoritmo de Uzawa, procede-se à determinação da solução óptima através
da resolução sucessiva de problemas de minimização, utilizando alternada e indehyphen.alt
pendentemente as variáveis de decisão relativas às aproximações utilizadas para os
diferentes campos. Assim, a estratégia aqui delineada permite que a não-linearidade
do problema possa ser tratada de um modo simples e expedito, já que afecta, apehyphen.alt
nas, grandezas locais dos elementos. É ainda estudada a introdução na formulação
1.4. NOTAÇÃO 5
de uma aproximação adicional na fronteira dos elementos, utilizada para descrever o
campo das velocidades relativas entre elementos adjacentes, e que permite a criação
de descontinuidades no modelo.
Adicionalmente, e devido ao custo computacional associado à determinação de estihyphen.alt
mativas precisas de cargas de colapso para a generalidade dos problemas 3D, explohyphen.alt
ra-se ainda o recurso à utilização de computação paralela.
1.4 Notação
A convenção de Einstein é considerada sempre válida e deve ser utilizada sempre
que seja adequada para operar termos com índices mudos e índices livres.
Por razões de conveniência são utilizadas duas notações distintas no decorrer deste
trabalho. Assim, no Capítulo 2, adopta-se uma notação tensorial, na qual os caractehyphen.alt
res que representam grandezas tensoriais são identificadas através de um sublinhado,
cujo número de linhas representa a ordem do tensor. As grandezas escalares são
representadas por caracteres em itálico. Desta forma, a, b e c simbolizariam um eshyphen.alt
calar, um tensor de 1a ordem (ou vector) e um tensor de 2a ordem, respectivamente.
Nesta notação, o operador “:” denota o produto contraído (também denominado
de contracção dupla) entre dois tensores da mesma ordem; a : b = aijbij. Faz-se
ainda menção da utilização do operador, tr(·), que denota o traço de um tensor de
2a ordem; tr(a) = aii.
No Capítulo 4, onde se inicia a descrição da formulação numérica proposta, assim
como nos seguintes, a notação tensorial é abandonada e substituida por uma notahyphen.alt
ção matricial. Assim, a partir desse Capítulo, as componentes independentes dos
tensores são apresentadas em vectores, definindo-se através de produtos matriciais
todas as operações tensorias necessárias. A representação de vectores e matrizes fazhyphen.alt
-se de modo indistinto através de caracteres em negrito, mantendo-se a simbologia
anteriormente adoptada para grandezas escalares.
A opção por esta mudança de notação a meio do texto justifica-se pela maior adehyphen.alt
quabilidade da notação matricial para a descrição da implementação numérica, já
que esta é consentânea com o modo de armazenamento de dados utilizado pela
generalidade das linguagens de programação.
6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
1.5 Organização do documento
O presente documento encontra-se estruturado em 8 capítulos. Após este capítulo
introdutório, onde foram apresentados a motivação, o objectivo do trabalho e a
descrição da notação utilizada ao longo deste documento, seguem-se os capítulos
centrais da tese cujo conteúdo é sumarizado em seguida.
Capítulo 2. Procede-se a uma definição rigorosa do problema em análise. Para
tal, são revistos alguns dos conceitos estabelecidos pela Teoria da Plasticidade
considerados essenciais para estabelecer o enquadramento teórico adequado
do problema. Segue-se então a formulação do problema em estudo. Incluemhyphen.alt
-se ainda algumas considerações sobre consequências resultantes das hipóteses
adoptadas na formulação do problema.
Capítulo 3. Apresenta-se neste capítulo uma breve revisão bibliográfica, na qual
se procura enquadrar o leitor sobre o estado-da-arte das formulações baseadas
nos Teoremas de Análise Limite. Aqui, são referidos os trabalhos considerados
mais relevantes no contexto desta tese, destacando-se os aspectos principais
de cada abordagem.
Capítulo 4. O principal objectivo deste capítulo é a exposição da formulação de
elementos finitos proposta. Esta descrição tem como ponto de partida o mohyphen.alt
delo apresentado em [129]. Discute-se uma variante dual da formulação de
limite superior, retomando seguidamente a apresentação do desenvolvimento
da formulação na sua forma inicial. Ao longo deste capítulo, procura-se, ainda,
destacar as características originais da formulação desenvolvida.
Capítulo 5. Este capítulo é dedicado à descrição da implementação numérica da
formulação. Assim, delineam-se as estratégias adoptadas na minimização lohyphen.alt
cal do algoritmo de Uzawa para os diversos materiais considerados neste trahyphen.alt
balho. Apresentam-se, ainda, o tipo de elementos finitos utilizados não só
para problemas 2D e 3D, como também para a introdução de descontinuidahyphen.alt
des. Adicionalmente, descreve-se a possibilidade de introduzir corpos rígidos
no modelo.
Capítulo 6. Neste capítulo apresenta-se o desenvolvimento da implementação do
modelo proposto para processamento paralelo. Diversas estratégias alternatihyphen.alt
1.6. NOTA FINAL 7
vas são sugeridas e discutidas. Esta abordagem permite aumentar significativahyphen.alt
mente a capacidade de cálculo e, consequentemente, a precisão das estimativas
das cargas de cálculo.
Capítulo 7. Com o intuito de validar e aferir as capacidades da formulação prohyphen.alt
posta, apresentam-se neste capítulo exemplos numéricos da sua aplicação. Os
exemplos analisados advêm de problemas oriundos da área da engenharia cihyphen.alt
vil e procuram ilustrar as potencialidades implementadas no que se refere à
abrangência de materiais, elementos de deformação constante e linear, utilizahyphen.alt
ção de corpos rígidos e a introdução de descontinuidades. Este capítulo vê-se
ainda enriquecido com uma secção de exemplos que realçam as vantagens da
utilização do processamento paralelo na Análise Limite.
Capítulo 8. Por fim, são apresentadas as principais conclusões retiradas deste trahyphen.alt
balho, juntamente com algumas sugestões de desenvolvimentos futuros.
1.6 Nota final
Parte da formulação apresentada neste documento foi já publicada em artigos de
revistas científicas internacionais [129],[130], tendo sido divulgadas em congressos
algumas das suas aplicações[127],[128],[126]. O trabalho de investigação objecto
desta tese resultou ainda no desenvolvimento de um programa de cálculo automático
para Análise Limite denominado SUBLIM3d, acrónimo de Strict Upper Bound
LIMit Analisys Code, podendo ser encontrada mais informação na página oficial do
programa www.dec.fct.unl.pt/projectos/SUBLIM3d.
8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Capítulo 2
Definição do Problema
2.1 Considerações iniciais
A importância da determinação de cargas de colapso de uma estrutura no seu dihyphen.alt
mensionamento é incontestável. Nos últimos anos, a exactidão dessa determinação
melhorou significativamente com o rápido desenvolvimento de meios computaciohyphen.alt
nais, possibilitando o aperfeiçoamento e o aumento da complexidade dos modelos
de análise. É neste contexto que se enquadra o problema em estudo, para a resohyphen.alt
lução do qual se irá apresentar o desenvolvimento de uma ferramenta de cálculo
automático, tendo por base um modelo de elementos finitos.
A completa descrição do problema, conforme pretendido neste capítulo, implica
que previamente se proceda ao enquadramento teórico do mesmo. Para este efeito
considera-se conveniente rever alguns conceitos fundamentais estabelecidos na Teoria
da Plasticidade ([56], [63], [79], [78]), dando especial ênfase aos Teoremas de Análise
Limite.
Como ponto de partida, considera-se como válida a hipótese de linearidade geomé-
trica, desprezando-se nas equações de equilíbrio quaisquer efeitos de 2a ordem, e
resultando igualmente válida a hipótese das pequenas deformações. Esta última,
permite estabelecer a seguinte relação de compatibilidade entre o campo de deslocahyphen.alt
9
10 CAPÍTULO 2. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
mentos, u, e o campo das deformações, ε,
εij = 12(ui,j + uj,i) (2.1)
Em alternativa, pode-se estabelecer uma relação análoga mas mais conveniente no
âmbito do presente trabalho, entre o campo das velocidades, ˙u, e a taxa das deforhyphen.alt
mações, ˙ε,
˙εij = 12(˙ui,j + ˙uj,i) (2.2)
Adicionalmente, o problema baseia-se ainda nos seguintes pressupostos:
i. materiais caracterizados por um comportamento isotrópico;
ii. todas as deformações inelásticas resultam de uma resposta perfeitamente pláshyphen.alt
tica dos materiais;
iii. aplicação do carregamento em condições quase estáticas, permitindo desprezar
quaisquer efeitos inerciais.
2.2 Revisão de conceitos da Teoria da Plasticidade
Para caracterizar o comportamento plástico de um material, pressuposto na definihyphen.alt
ção do problema, recorre-se numa abordagem clássica ao controlo da plasticidade
através do estado das tensões, introduzindo com este objectivo a definição do denohyphen.alt
minado critério de cedência,
f(σ) ≤ 0 (2.3)
Este critério estabelece uma superfície de cedência, f(σ) = 0, definida através de
uma função escalar do tensor das tensões σ, que delimita os estados de tensão
considerados admissíveis.
Para que ocorra um incremento das deformações plásticas no material é necessário
que o estado de tensão se encontre sobre a superfície de cedência, i.e, que a igualhyphen.alt
dade em (2.3) se verifique. Caso contrário, o material apresenta, localmente, uma
resposta em regime elástico, permanecendo as deformações plásticas constantes. Eshyphen.alt
2.2. REVISÃO DE CONCEITOS DA TEORIA DA PLASTICIDADE 11
tas últimas são necessáriamente nulas em pontos cuja história da evolução do estado
de tensão nunca observe registos localizados sobre a superfície de cedência.
No caso mais genérico admite-se que a superfície de cedência inicial possa sofrer
alterações com o aparecimento de deformações plásticas. Os modelos mais comuns
utilizados para caracterizar a evolução da superfície de cedência prevêem que esta
possa sofrer uma dilatação, mantendo contudo a sua forma e origem no espaço das
tensões. Este comportamento conduz a um aumento na resistência do material e
denomina-se por endurecimento (hardening na nomenclatura inglesa) isotrópico. Em
oposição, o fenómeno de redução de resistência devido a uma contracção da superfície
de cedência denomina-se de amolecimento (softening na nomenclatura inglesa). No
caso do modelo prever apenas translação da posição inicial da superfície de cedência
no sentido das deformações plásticas, mantendo no entanto o seu tamanho e forma
inicial, está-se perante o denominado endurecimento cinemático. Este tipo de lei de
endurecimento é habitualmente utilizada para modelar fenómenos como o conhecido
efeito de Bauchinger [26],[78] observado experimentalmente em metais. Estes dois
tipos de endurecimento podem ainda ocorrer simultaneamente dando origem a um
endurecimento misto [78].
Deste modo, a superfície de cedência passa também a ser função não só do estado
de tensões mas também do estado de endurecimento do material, E,
f(σ,E) = 0 , (2.4)
sendo a evolução do estado de endurecimento tipicamente controlada através das
deformações plásticas ocorridas ou alternativamente através do trabalho plástico
dissipado, independentemente da trajectória das deformações, respectivamente o
strain hardening e o work hardening, empregando a terminologia inglesa.
No entanto, para o caso específico do tipo de material considerado neste trabalho,
em que os materiais apresentam um comportamento perfeitamente plástico, a suhyphen.alt
perfície de cedência deverá permanecer inalterada ao longo de toda a história do
carregamento (E = 0).
Na próxima secção serão apresentadas e discutidas restrições impostas à forma da
função da superfície de cedência. Adianta-se apenas que, para materiais isotrópicos,
esta função deverá necessariamente respeitar uma das seguintes situações [111]:
12 CAPÍTULO 2. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
i. ser uma função simétrica das componentes principais do tensor das tensões,
ii. ser uma função dependente dos invariantes do tensor das tensões, e em particular
ser uma função dependente do primeiro invariante de σ e dos invariantes da
parcela deviatórica das tensões, s, definida como,
s = σ − 13tr(σ)I (2.5)
onde I representa o tensor identidade de 2a ordem.
2.2.1 Princípio do trabalho plástico máximo
Considere-se um qualquer estado de tensão admissível, σ, e uma taxa de deformahyphen.alt
ção plástica, ˙εp, gerada nesse estado de tensão. O Princípio do Trabalho Plástico
Máximo (PTPM)1 postula que para todo o estado de tensão admissível, σ∗, arbitrahyphen.alt
riamente escolhido, se verifica a seguinte relação:
∀σ∗|f(σ∗) lessorequalslant 0, ∀σ|f(σ) lessorequalslant 0, parenleftbigσ−σ∗parenrightbig : ˙εp greaterorequalslant 0 (2.6)
Este princípio é também muitas vezes observado como consequência do Postulado
de Estabilidade de Drucker [63],[79].
Da aplicação do PTPM resultam três consequências relevantes:
a) a taxa de deformação plástica tem de ser orientada segundo uma normal exterior
à superfície de cedência;
b) a superfície de cedência define obrigatoriamente um espaço das tensões admissíhyphen.alt
veis convexo;
c) a dissipação plástica por unidade de volume, D, definida pelo produto interno
das tensões pela taxa de deformação plástica,
D(σ, ˙εp) = σ : ˙εp (2.7)
1O PTPM foi estabelecido através de trabalhos independentes por von Mises, Taylor e Hill em
1928, 1947 e 1948, respectivamente [79].
2.2. REVISÃO DE CONCEITOS DA TEORIA DA PLASTICIDADE 13
pode passar a ser expressa como uma função unívoca da taxa de deformação
plástica, D(˙εp), desde que seja conhecida a função de cedência, f(σ).
As duas primeiras consequências são facilmente constatadas, mediante a interpretahyphen.alt
ção da condição de desigualdade presente em (2.6) como uma restrição imposta ao
produto interno entre dois vectores, conforme ilustrado na Figura 2.1.
˙εp
˙εp
˙εp
σ
σ σ
σ∗
σ∗
σ∗
f(σ)
= 0
f(σ
)=
0
(a) (b)
parenleftbigσ −σ∗parenrightbig parenleftbigσ −σ∗parenrightbig
Figura 2.1: Consequências do PTPM: (a) normalidade; (b)convexidade
Como se pode constatar através da análise da Figura 2.1(a), caso o plano perpenhyphen.alt
dicular à taxa de deformação plástica intercepte o domínio elástico delimitado pela
superfície de cedência, é possível definir uma sub-região na qual os estados de tensão,
σ∗, nela contida, violariam necessáriamente a condição (2.6) do PTPM. Conclui-se,
deste modo, da necessidade da orientação da taxa de deformação plástica ser norhyphen.alt
mal à superfície de cedência. Através de um raciocinio análogo pode-se concluir
da obrigatoriadade da convexidade do domínio elástico. Para tal, basta constatar
que o plano perpendicular a uma taxa de deformação plástica associada a um eshyphen.alt
tado de tensão, localizado numa zona côncava da superfície de cedência, intercepta
necessáriamente a região delimitada por esta, Figura 2.1(b).
A última consequência deriva da própria definição da dissipação plástica (2.7) e da
normalidade da taxa de deformação face à superfície de cedência. É de salientar
no entanto que, mesmo para uma superfície de cedência não estritamente convexa
caracterizada por múltiplas hipóteses de estados de tensão associados a determinada
taxa de deformação plástica, a dissipação conserva-se ainda como função unívoca da
taxa de deformação. Este facto é ilustrado na Figura 2.2, recorrendo ao critério de
Mohr-Coulomb para um estado plano de deformação.
14 CAPÍTULO 2. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
t
n
φ˙ε
˙ε
˙ε
˙εn
˙εt
c cosφ
c
σa σb σ
c
f(σ) =
0
D = c cosφ | ˙ε |= ctanφ ˙εn
Figura 2.2: Dissipação numa superfície de cedência não estritamente convexa
2.2.2 Escoamento plástico
Na secção inicial deste capítulo prescreveram-se as condições necessárias para que
um material possa entrar em regime plástico. Para a completa definição do modelo
reológico do material, torna-se agora necessário estabelecer como se processa o escohyphen.alt
amento plástico. Considere-se a decomposição das deformações totais nas parcelas
elástica, εe, e plástica, εp,
ε = εe + εp , (2.8)
sendo que as deformações plásticas consistem em todas as deformações residuais
resultantes de um carregamento que permanecem no material após se retirar a
carga. Contrariamente às deformações elásticas, regidas pela Teoria de Elasticihyphen.alt
dade [10],[123], não é possível estabelecer uma relação unívoca entre deformações
plásticas e o campo das tensões.
De facto, pode-se afirmar que a deformação plástica num ponto de um material
exibindo um comportamento perfeitamente plástico é a priori indefinida e não lihyphen.alt
mitada. Deste modo, torna-se mais adequado exprimir a relação constitutiva em
termos da taxa de deformação, ˙εp.
A introdução de uma nova grandeza que traduza a lei de escoamento plástico, o
potencial plástico Φ(σ), permite estabelecer a seguinte relação com as componentes
da taxa das deformações plásticas:
˙εpij = α∂Φ(σ)∂σ
ij
, α ∈R+0 (2.9)
2.2. REVISÃO DE CONCEITOS DA TEORIA DA PLASTICIDADE 15
De um ponto de vista geométrico, a condição (2.9) e o intervalo a que α pertence,
impõem, respectivamente, que a direcção da taxa das deformações plásticas seja
normal à superfície do potencial Φ(σ) e que o sentido da mesma se dirija para o
exterior da superfície. A validade do PTPM, por sua vez, impõe que a função
do potencial coincida necessariamente com a função de cedência (a menos de uma
constante),
Φ(σ) = f(σ) + cte (2.10)
Consequentemente está-se perante uma lei de escoamento associado [63],[79],[111],
conforme ilustrado na Figura 2.3, por oposição a uma lei não-associada onde o
potencial plástico difere da função de cedência.
Caso existam pontos singulares (não diferenciáveis) na superfície do potencial, con-
sidera-se que nesses pontos a taxa de deformação possa assumir qualquer direcção
contida no cone formado pelas normais exteriores na vizinhança do ponto (ver ponto
B, Figura 2.3). A convexidade da superfície de cedência imposta pelo PTPM é
requisito suficiente para garantira existência deste cone. Esta condição não é mais do
que uma generalização da condição de normalidade (2.9), expressa matematicamente
recorrendo ao conceito de subgradiente,
˙ε ∈ α∂Φ(σ), α ∈R+0 (2.11)
˙εp
σij
σkl
f(σ
)=
0
domínio
elástico
A
B
Figura 2.3: Representação da lei de escoamento associado
16 CAPÍTULO 2. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
2.2.2.1 Descontinuidades no campo de velocidades
Para concluir a descrição do escoamento, falta por último salientar que para matehyphen.alt
riais perfeitamente plásticos é possível a ocorrência de descontinuidades no campo
de velocidades. Do ponto de vista físico, as referidas descontinuidades podem ser
observadas como uma variação no campo da taxa das deformações plásticas locahyphen.alt
lizadas numa zona de espessura infinitesimal de material [28]. Deste modo estas
descontinuidades encontram-se igualmente sujeitas à lei de escoamento (2.9),(2.11).
Em Salençon[111], pode ser encontrado um tratamento matemático rigoroso das
descontinuidades do campo das velocidades.
2.2.3 Funções de dissipação
Nesta subsecção são enumeradas todas as funções de dissipação associadas aos critéhyphen.alt
rios de cedência utilizados neste trabalho. As expressões aqui adoptadas seguem a
definição apresentada por Salençon [110],[111]. As referidas expressões são definidas
no espaço das tensões principais (σI,σII,σIII) e das taxas de deformação principais
(˙εI, ˙εII, ˙εIII), pressupondo a seguinte ordenação:
σI ≥ σII ≥ σIII
É ainda introduzida a definição do espaço auxiliar, Cc. Este espaço é definido por
forma a garantir implicitamente a imposição das condições de normalidade do escohyphen.alt
amento plástico (2.9) e (2.11), bastando para tal restringir as taxas de deformação
plástica admissíveis ao seu domínio.
Na Figura 2.4 representam-se, no espaço das tensões principais, as superfícies de
cedência correspondentes a cada critério considerado.
2.2.3.1 Critério de Tresca
Para o critério de Tresca a expressão da função de cedência é dada por,
f(σ) = σI −σIII −2c (2.12)
2.2. REVISÃO DE CONCEITOS DA TEORIA DA PLASTICIDADE 17
σI =
σII =
σIII
σI =
σII =
σIII
σI =
σII =
σIII
σI =
σII =
σIII
(a) Tresca (b) von Mises
(c) Mohr-Coulomb (d) Drucker-Prager
σI σI
σII σII
σIII σIII
−σI−σI
−σII−σII
−σIII−σIII
Figura 2.4: Representação gráfica das superfícies de cedência
onde c representa a coesão do material. Por sua vez a função de dissipação e o
espaço Cc são definidos através das expressões,
D(˙εp) = c(| ˙εpI | + | ˙εpII | + | ˙εpIII |) , ∀˙εp ∈Cc (2.13)
˙εp ∈Cc ⇔ tr(˙εp) = 0 (2.14)
É por vezes habitual limitar a máxima tensão de tracção, σT, admissível por este
critério. Neste caso, obtém-se o denominado critério de Tresca truncado em tracção,
braceleftBigg
f(σ) = σI −σIII −2c , σI > σT
f(σ) = 0 , σI = σT (2.15)
D(˙εp) = cparenleftbig| ˙εpI | + | ˙εpII | + | ˙εpIII |−tr(˙εp)parenrightbig+ σT tr(˙εp), ∀˙εp ∈Cc (2.16)
18 CAPÍTULO 2. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
˙εp ∈Cc ⇔ tr(˙εp) ≥ 0 (2.17)
2.2.3.2 Critério de von Mises
Para o critério de von Mises são válidas as seguintes expressões,
f(σ) =
radicalbigg1
2tr(s
2)−k (2.18)
onde k é tensão de corte de cedência obtida num ensaio de tracção uniaxial.
D(˙εp) = k
radicalBig
2tr((˙εp)2), ∀˙εp ∈Cc (2.19)
˙εp ∈Cc ⇔ tr(˙εp) = 0 (2.20)
2.2.3.3 Critério de Mohr-Coulomb
As funções de cedência, de dissipação e a definição do espaço Cc são expressos para
o critério de Mohr-Coulomb, respectivamente, pelas seguintes expressões:
f(σ) = σI(1 + sinφ)−σIII(1−sinφ)−2 c cosφ (2.21)
onde φ é o ângulo de atrito interno do material.
D(˙εp) = ctanφtr(˙εp), ∀˙εp ∈Cc (2.22)
˙εp ∈Cc ⇒ tr(˙εp) ≥ (| ˙εpI | + | ˙εpII | + | ˙εpIII |)sinφ (2.23)
2.2. REVISÃO DE CONCEITOS DA TEORIA DA PLASTICIDADE 19
2.2.3.4 Critério de Drucker-Prager
Para finalizar, apresentam-se as expressões correspondentes aocritério de Drucker-Prager:
f(σ) =
radicalbigg
1
2tr(s
2)− 3sinφradicalbig
3(3 + sin2φ)
parenleftbigg c
tanφ −
1
3tr(σ)
parenrightbigg
(2.24)
D(˙εp) = ctanφtr(˙εp), ∀˙εp ∈Cc (2.25)
˙εp ∈Cc ⇔ tr(˙εp) ≥
radicalBigg
2sin2φ
3 + sin2φ
parenleftBig
3tr((˙εp)2)−tr2(˙εp)
parenrightBig
(2.26)
2.2.3.5 Dissipação em superfícies de escorregamento
Conforme referido anteriormente (secção 2.2.2), a Teoria da Plasticidade não exclui a
possibilidade da ocorrência de descontinuidades no campo das velocidades, surgindo,
assim, a necessidade de quantificar a dissipação plástica que ocorre nesta situação.
Considere-se uma superfície escorregamento (representada na Figura 2.5), S, onde
ocorre uma descontinuidade no campo de velocidades entre dois sub-domínios Ω1 e
Ω2. A velocidade relativa, ˆv, num ponto genérico da superfície de escorregamento é
obtida através da diferença entre as velocidades dos dois sub-domínios adjacentes,
ˆv = ˙u2 − ˙u1 , (2.27)
sendo, respectivamente, ˆvn = (ˆv · n)n e ˆvt = ˆv − ˆvn, as componentes normal e
tangencial da velocidade relativa.
No caso dos materiais friccionais (critérios de Mohr-coulomb e Drucker-Prager) a
regra da normalidade impõe que o ângulo entre o vector da velocidade relativa e
a superfície de escoamento seja superior ao ângulo de atrito, φ. Esta condição é
expressa por:
ˆv ∈Cd ⇒ ˆv ·n ≥| ˆv | sinφ , (2.28)
20 CAPÍTULO 2. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
n
Ω1
Ω2
S
ˆvˆvn
ˆvt
Figura 2.5: Superfície de escorregamento: velocidade relativa
sendo a dissipação traduzida pela seguinte expressão:
D(ˆv) = ctanφ | ˆvn | (2.29)
Na definição (2.28) o espaço Cd desempenha, para o campo das velocidades relativas,
uma função correspondente à que é desempenhada pelo o espaço, Cc, para o campo
da taxa das deformações.
O caso dos materiais puramente coesivos (Tresca e von Mises) pode ser interprehyphen.alt
tado como uma particularização dos materiais friccionais em que φ → 0. Assim, a
condição de normalidade (2.28) resulta em,
ˆv ∈Cd ⇒ ˆv ·n = 0 (2.30)
Ressalta-se que a desigualdade patente na condição (2.28) tem origem no facto de
existir um ápice na superfície de cedência dos materiais friccionais (ver Figura 2.4).
A inexistência do referido ápice para os materiais puramente coesivos transforma a
referida desigualdade numa igualdade (2.30).
Por sua vez, a expressão da dissipação (2.29) pode ser reescrita do seguinte modo:
D(ˆv) = kI | ˆvt | (2.31)
onde kI é a tensão de corte limite na interface, que corresponde ao valor dos parâhyphen.alt
metros c e k para os materiais tipo Tresca e tipo von Mises, respectivamente.
2.3. ANÁLISE LIMITE 21
Finalmente, considera-se ainda o caso do critério de Tresca truncado em tracção.
Neste caso, a igualdade (2.30) que impõe a condição de normalidade transforma-se
novamente numa desigualdade, por forma a acomodar a situação de truncatura,
ˆv ∈Cd ⇒ ˆv ·n ≥ 0 , (2.32)
sendo a dissipação plástica determinada através da expressão (2.33) (ver Figura 2.6):
D(ˆv) = kI | ˆv | +(σT −kI) | ˆvn | (2.33)
σ
σTt
n
kIkI
ˆvˆvt
ˆvn
σT −kI
Figura 2.6: Descontinuidade com o critério de Tresca truncado em tracção
2.3 Análise Limite
A Análise Limite debruça-se sobre a determinação de cargas de colapso de sistemas
mecânicos. Deste modo, é conveniente clarificar o que se considera como colapso de
um sistema mecânico que exiba um comportamento perfeitamente plástico.
Introduza-se o conceito de carregamento admissível, este é um carregamento para
o qual é possível obter uma distribuição de tensões equilibradas, que respeite em
todo o domínio a condição de cedência (2.3). Entende-se por distribuição de tensões
equilibradas, um campo de tensões que respeita não só as condições de equilíbrio no
domínio, Ω,
σij,i + bj = 0 , (2.34)
mas também nas fronteiras estáticas, Γσ, onde são prescritas forças de fronteira, t,
σ·n = t em Γσ , (2.35)
22 CAPÍTULO 2. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
onde o vector, n, representa o versor da normal exterior à fronteira. Em (2.34), bj,
representa a componente, na direcção j, do vector das forças de massa, b.
Assim, considera-se que um sistema mecânico atingiu um carregamento limite, eshyphen.alt
tando iminente o seu colapso, sempre que para um carregamento admissível possam
ocorrer deformações plásticas incontroláveis na estrutura [79].
Para um conjunto genérico de carregamentos Q1,Q2,...Qn, é possível definir-se uma
região de carregamentos admissíveis, conforme representado na Figura 2.7. São nahyphen.alt
turalmente considerados carregamentos inadmissíveis qualquer combinação de carhyphen.alt
regamento fora da região representada, sendo esta delimitada pelos denominados
carregamentos limite. Esta região herda as propriedades de convexidade da superfíhyphen.alt
cie de cedência [111].
Qj
Qk
carregamentos
carregamentos
admissíveis
limite região dos colapso
Figura 2.7: Domínio dos carregamentos admissíveis
De notar que a carga de colapso não é influenciada pela trajectória de carregamento
[111], como se pretende ilustrar através das duas trajectórias representadas a trahyphen.alt
cejado na Figura 2.7. No entanto, esta afirmação deixa de ser válida para o caso
de carregamento cíclicos. Nestas circunstâncias o colapso da estrutura pode ocorhyphen.alt
rer sem nunca ser atingido um carregamento limite [63], através de fenómenos de
plasticidade alternada (também denominada de fadiga de baixo ciclo) ou de colapso
incremental. Estas situações não serão aqui abordadas por se considerar estarem
fora do âmbito deste trabalho.
No caso de sistemas com comportamento rígido-plástico as deformações plásticas,
a poderem ocorrer, processam-se inevitavelmente de forma incontrolável, o que sighyphen.alt
nifica que o seu aparecimento implica necessariamente o facto de se ter atingido
o colapso da estrutura. Mais, a plastificação local de regiões, previamente à situhyphen.alt
ação de colapso, não faz com que possam ocorrer nestas regiões deformações. O
2.3. ANÁLISE LIMITE 23
mesmo não é observado para sistemas com um comportamento elásto-plástico, já
que as eventuais deformações elásticas podem permitir o acumular de deformações
plásticas antes de se atingir a situação de colapso.
Não obstante esta diferença significativa entre estes dois tipos de comportamento,
demonstra-se [35],[79]2, que a região de carregamentos admissíveis é coincidente,
no caso dos dois sistemas mecânicos apresentarem critérios de cedência idênticos.
Isto significa que as deformações elásticas não influenciam a carga de colapso. Lehyphen.alt
vando em consideração este facto, a partir deste momento e sem perda de qualquer
generalidade para o comportamento elásto-plástico, será apenas tratado o caso do
comportamento rígido-plástico.
É neste contexto que surgem os teoremas da Análise Limite. Estes três teoremas
permitem retirar conclusões sobre a capacidade de dado carregamento ser passível
de ser suportado e consequentemente sobre a carga de colapso de uma estrutura.
Deste modo, eles constituem uma poderosa ferramenta teórica no domínio da Análise
Limite, que permite, de uma forma expedita, a obtenção de majorantes/minorantes
para as cargas de colapso.
Admita-se então um sistema mecânico que exiba um comportamento perfeitamente
plástico e aceite-se como válido o PTPM. Estas permissas garantem a validade dos
teoremas a seguir enunciados:
Teorema Estático. Se para um determinado carregamento for possível obter pelo
menos uma distribuição de tensões que seja admissível, i.e, onde as condições de
cedência (2.3) e de equilíbrio (2.34) se verifiquem localmente em todo o domínio e
satisfaça igualmente a condição equilíbrio (2.35) na fronteira estática, então esse
carregamento pertence à região dos carregamentos admissíveis (ou suportáveis).
Teorema Cinemático. Se, para um determinado carregamento, for possível definir
um campo de velocidades virtual, ˙u∗, que seja compatível e onde a potência das forças
exteriores aplicadas,
We =
integraldisplay
Ω
b· ˙u∗ dΩ +
integraldisplay
Γσ
t· ˙u∗ dΓ (2.36)
2Ambos os autores destas referências apelam nas suas demonstrações ao postulado de estabihyphen.alt
lidade de Drucker. É no entanto possível retirar conclusões análogas recorrendo ao PTPM, já
enunciado neste trabalho
24 CAPÍTULO 2. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
seja superior ou igual à potência plástica total dissipada,
WD =
integraldisplay
Ω
D(˙ε∗)dΩ (2.37)
então esse carregamento é não interior à região dos carregamentos admissíveis (não
estando eliminada a hipótese de se tratar de um carregamento limite).
Neste instante, torna-se necessário precisar o conceito de campo de velocidades comhyphen.alt
patível que surge na enunciação do Teorema Cinemático. Entende-se por campo de
velocidades compatível todo aquele campo que respeita as condições de compatibihyphen.alt
lidade na fronteiras cinemática, Γu, expressa pela condição,
˙u = 0 em Γu (2.38)
e cujo campo da taxa de deformações, ˙ε, a ele associado através da condição de
compatibilidade (2.2), respeite a regra de escoamento associado estabelecida por
(2.9-2.11).
Teorema da Unicidade. Se, para um determinado carregamento, for possível verihyphen.alt
ficar simultaneamente os Teoremas Estático e Cinemático, então esse carregamento
é necessáriamente um carregamento limite.
Tendo por base os Teoremas Estático e Cinemático é possível definir para uma
determinada trajectória de carregamento linear um minorante e um majorante da
carga de colapso. No limite, o Teorema da Unicidade garante que o majorante e o
minorante coincidem.
Conforme foi mencionado, a validade dos Teoremas da Análise Limite, aqui aprehyphen.alt
sentados na sua forma clássica, requerem o estrito cumprimento do PTPM. O que
restringe a sua aplicação (de uma forma estrita) a materiais regidos por um escohyphen.alt
amento associado. Para o caso de materiais que apresentem um comportamento
perfeitamente plástico mas que no entanto tenham um escoamento não associado,
situação comum no domínio da Mecânica dos Solos, surgem os Teoremas de Rahyphen.alt
denkovic [79],[110]. Inicialmente atribuidos a Radenkovic, estes teoremas sofreram
posteriores modificações por diversos autores. Optou-se neste trabalho por seguir
as enunciações dos teoremas encontrada em [79].
Primeiro Teorema de Radenkovic. A região dos carregamentos admissíveis de
2.3. ANÁLISE LIMITE 25
um sistema mecânico constituído por um material regido por um escoamento não
associado está contida na região dos carregamentos admissíveis de um sistema de
um material com um critério de cedência análogo que obedece à regra de escoamento
associado.
Segundo Teorema de Radenkovic. Considere-se a existência da superfície conhyphen.alt
vexa, g(σ) = 0, contida necessáriamente pela superfície de cedência, f(σ) = 0,
definida de modo a que:
i. ∀ σ|f(σ) = 0 ∃ σ′| g(σ′) = 0∧(σ−σ′)˙εp ≥ 0
ii. a regra da normalidade se observe, i.e, que as Eq. (2.9) e (2.11) se verifiquem
para Φ(σ) = g(σ′).
Onde ˙εp é a taxa de deformação plástica associada ao estado de tensão σ.
Então, todos os carregamentos admissíveis para um dado sistema mecânico de um
material regido por um escoamento não associado, também o são no caso do mahyphen.alt
terial apresentar um escoamento associado ao critério de cedência da superfície de
cedência, g(σ) = 0, correspondente.
Na Figura 2.8 ilustra-se a construção gráfica da superfície, g(σ) = 0, definida no
segundo Teorema de Radenkovic, para um caso bidimensional.
g(σ) =
0
f(σ
)=
0
˙εpA
σA
σ′A
˙εpB
σB σ′B
˙εpC
σC
σ′C
˙εpD
σD
σ′D
Figura 2.8: Construção da superfície, g(σ) = 0.
Poder-se-á afirmar que estes últimos teoremas alargam a possibilidade de utilização
dos Teoremas Estático e Cinemático a materiais com escoamentos não associados.
26 CAPÍTULO 2. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
Contundo, é previsível que os resultados práticos desta utilização sejam menos satishyphen.alt
fatórios. A não aplicabilidade do Teorema da Unicidade, resulta em que as regiões
interiores e exteriores de carregamentos admissíveis, definidas respectivamente atrahyphen.alt
vés destes Teoremas Estático e Cinemático, deixem de ser complementares. Deste
modo, deixa de ser possível garantir a qualidade de majorantes/minorantes de cargas
de colapso obtidos com base nestes teoremas no caso de materiais com escoamento
não associado.
2.4 Definição do problema
Com base no enquadramento teórico estabelecido no início deste capítulo, é agora
possível enunciar de forma sucinta mas rigorosa a definição do problema a tratar no
presente trabalho.
Assim, pretende-se determinar estimativas de elevado grau de precisão de cargas
de colapso de um conjunto de problemas não só de estados planos de deformahyphen.alt
ção/tensão, mas também tridimensionais (com especial enfoque nestes últimos),
recorrendo a uma utilização estrita do Teorema Cinemático da Análise Limite.
O termo estrito é utilizado neste contexto para garantir que todas as hipóteses e
condições enunciadas no teorema mencionado são rigorosamente respeitadas.
2.5 Considerações finais
Para concluir este capítulo, tecem-se algumas considerações no que respeita à aplihyphen.alt
cabilidade do problema aqui definido na resolução de problemas no domínio da
Engenharia Civil. São inúmeras as referências na literatura onde são apresentadas
propostas de metodologias e formulações baseadas nos conceitos da Análise Limite
em problemas tão diversos como: o cálculo da capacidade resistente de peças de
betão armado [27],[97],[99] e estruturas metálicas [2],[60],[90],[119]; a análise de eshyphen.alt
truturas em alvenaria [55]; a análise de estabilidade de taludes [29],[103] e impulsos
de terrenos [120],[131], a capacidade resistente de fundações [58],[91],[112] e a estabihyphen.alt
lidade de túneis [11],[12], apenas para mencionar algumas das vastas aplicações no
campo da mecânica dos solos.
2.5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 27
Como é sobejamente conhecido o betão apresenta um comportamento frágil não
sendo, geralmente e por este facto, adequado recorrer-se à Análise Limite no estudo
para o estruturas compostas por este material. Ainda assim, verifica-se que, em
determinadas situações, as estruturas de betão armado podem apresentar uma duchyphen.alt
tilidade significativa, que lhes é conferida pelas armaduras de aço. Nestes casos,
torna-se então admissível recorrer aos princípios da Análise Limite, conforme é rehyphen.alt
ferido em [99]. Este trabalho, juntamente com [97], constituem tratados de relevo
onde é realizada uma compreensiva apresentação de métodos de dimensionamento
de betão armado baseados na Análise Limite. Refere-se, no entanto, que se consihyphen.alt
dera que a formulação desenvolvida não se adequa, nos moldes em que se realizou a
sua implementação numérica, ao estudo deste tipo de problemas.
De todos os materiais estruturais comummente utilizados na Engenharia Civil, o aço
é, porventura, aquele que apresenta o comportamento plástico que mais se adequa à
Análise Limite. Contudo, a esbelteza das estruturas metálicas torna frequentemente
preponderante o aparecimento de efeitos de 2a ordem, conduzindo a limitações da
capacidade resistente devido a efeitos de instabilidade. A incompatibilidade destes
efeitos com a linearidade física pressuposta na Análise Limite, inviabiliza a sua utilihyphen.alt
zação generalizada no dimensionamento das estruturas metálicas. Existem, porém,
situações em que a utilização da Análise Limite pode proporcionar uma ferramenta
de cálculo valiosa, nomeadamente no estudo de pormenores de ligações tanto soldahyphen.alt
das [60],[119] como aparafusadas [2].
Na última década tem-se observado um crescente interesse da aplicação da Análise
Limite no estudo das estruturas em alvenaria (não reforçada), conforme se pode
comprovar através do grande número de trabalhos recentemente publicados nesta
área, nomeadamente e a título de exemplo: [22],[23],[24],[46],[93],[94],[101],[121]. No
entanto, a alvenaria estrutural apresenta algumas especificidades que é necessário ter
em consideração aquando da sua modelação, nomeadamente a nível da aplicação dos
princípios da Análise Limite. Com efeito, trata-se de um material compósito constihyphen.alt
tuído pelas unidades (blocos cerâmicos, betão ou pedra) e a argamassa, originando
um comportamento anisotrópico muito condicionado pelas juntas de argamassa que
constituem potenciais superfícies de rotura. Embora apresente, em muitas situações,
um comportamente frágil (inadequado para Análise Limite), noutras situações, dehyphen.alt
pendendo do carregamento, o comportamente poderá apresentar uma ductilidade
considerável. É para este último caso que a Análise Limite se tem revelado uma ferhyphen.alt
28 CAPÍTULO 2. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
ramenta de cálculo capaz de produzir resultados de qualidade quando comparados
com os dados experimentais existentes. Em regra geral, adoptam-se duas abordagem
distintas para modelar as estruturas de alvenaria:
• a micro-modelação, na qual as unidades são modelados porelementos contínuos
sendo as juntas de argamassa representadas por elementos de descontinuidahyphen.alt
des. Considera-se que este é tipo de estratégia mais apropriada ao presente
trabalho. É de referir que os dados experimentais revelam que, na rotura, o
escorregamento verificado nas juntas de argamassa se processa com uma dilahyphen.alt
tância praticamente nula. Este comportamento não é consentâneo com a lei de
escoamento associada. Contudo, este facto não torna impeditiva a utilização
da Análise Limite, havendo propostas que procuram contornar esta limitação
[101].
• a macro-modelação,que não individualiza a unidades e a argamassa, tratando a
alvenaria como um único meio homogéneo não isotrópico [95]. Esta estratégia é
indicada, essencialmente, para a análise de estruturas de grande dimensão. No
entanto, este tipo de modelação não se enquadra nos pressupostos assumidos
neste trabalho, devido à falta de isotropia.
É na análise de problemas geotécnicos que o uso de métodos numéricos fundamenhyphen.alt
tados nos Teoremas de Análise Limite se encontra, porventura, mais enraizado e
disseminado. A comprová-lo, está a diversidade de problemas analisados neste dohyphen.alt
mínio constatada nos trabalhos já mencionados, no início desta secção. Esta prática,
mantém, porém, uma questão em aberto: a observação experimental revela que sohyphen.alt
los em condições drenadas exibem uma dilatância não concordante com uma lei de
escoamento associada. Assim, e segundo os Teoremas de Radenkovic, apenas se
pode afirmar que o material não associado não pode ser mais resistente que o homóhyphen.alt
logo associado. Contudo, existem estudos (para determinados tipos de problemas)
que indicam que a diferença das cargas limite obtidas com base nestes dois tipos de
materiais não pode apresentar grande discrepância [37].
Capítulo 3
Revisão bibliográfica
No presente capítulo apresenta-se uma revisão bibliográfica das principais formu-
lações de elementos finitos para Análise Limite. Esta apresentação não pretende
efectuar um relato exaustivo de todas as formulações existentes, mas antes fornecer
uma ideia dos trabalhos considerados mais marcantes neste domínio, bem como das
tendências actuais de evolução das formulações.
Desde os trabalhos pioneiros de Lysmer [85], na década de 70, que se desenvolvem
modelos de elementos finitos para determinação de cargas de colapso, auxiliados por
técnicas oriundas da programação matemática. Estes modelos resultam da discretihyphen.alt
zação de um problema de optimização, formulado com base nos teoremas de Análise
Limite.
Lysmer [85] desenvolve, para problemas de deformação plana e utilizando o critério
de Mohr-Coulomb, uma formulação baseada no Teorema Estático da Análise Limite.
Recorrendo a um elemento triangular de tensão (com um campo de aproximações
linear) e a uma linearização da superfície de cedência, descrita por uma circunfehyphen.alt
rência no espaço das tensões (X,Y ), com X = σx −σy e Y = 2τxy, através de um
polígono de 12 lados, a abordagem utilizada resulta num problema de optimização
linear, resolvido através do algoritmo do Simplex [100].
A utilização de métodos lineares de programação matemática com base na linearihyphen.alt
zação dos critérios de rotura adoptados, iniciada por Lysmer, estabelece-se como
estratégia dominante no desenvolvimento de formulações para Análise Limite, até
meados da década de 90, sendo utilizada por diversos autores nos seus trabalhos
29
30 CAPÍTULO 3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
[6],[17],[30],[114],[116],[7].
Observa-se então um abandono progressivo do uso dos métodos de programação
matemática linear a favor de formulações desenvolvidas com base em algoritmos
de programação matemática não linear e é, sem dúvida, sobre estes últimos que se
baseiam as formulações de elementos finitos para Análise Limite que constituem o
estado-da-arte actual. Estas serão descritas em seguida.
Contudo, antes de se prosseguir com a apresentação destas formulações, convêm dehyphen.alt
finir a classificação adoptada para as agrupar. Assim, as formulações são divididas
em dois grandes grupos: as formulações de limite inferior (lower bound) e as formuhyphen.alt
lações de limite superior (upper bound). Esta classificação é atribuída consoante o
modelo numérico seja desenvolvido com base no Teorema Estático ou no Teorema
Cinemático da Análise Limite.
Refira-se que, qualquer que seja o Teorema utilizado para deduzir a formulação, o
problema matemático de optimização resultante, uma vez expresso na sua forma dishyphen.alt
creta, pode ser reescrito através de quatro formas duais, perfeitamente equivalentes,
conducentes ao mesmo resultado: (i) um problema de minimização, (ii) um problema
de maximização, (iii) um problema misto de minimização/maximização e (iv) um
sistema de equações e inequações que exprimem as condições de optimalidade [100].
É interessante constatar que a dualidade matemática entre os problemas (i) e (ii),
resulta, de um ponto de vista mecânico, na dualidade entre os Teoremas Estático
e Cinemático. A exploração desta dualidade para obtenção de uma formulação de
elementos finitos para Análise Limite é utilizada pela primeira vez por Anderheghyphen.alt
gen e Knöpfel [6]. Salienta-se ainda o trabalho de Zouain et al. [139] na obtenção
de um algoritmo de programação matemática não linear baseado nas condições de
optimalidade (iv). Christiansen [31] debruça-se igualmente sobre esta temática da
dualidade nas formulações de Análise Limite, dando particular relevo ao formalismo
matemático envolvido.
As formulações são ainda classificadas como fortes ou fracas. A atribuição da dehyphen.alt
nominação de formulação forte, por oposição à de formulação fraca, faz-se quando
o modelo respeita o cumprimento estrito das condições impostas pelos Teoremas
Estático ou Cinemático, conduzindo deste modo à obtenção de um minorante ou
majorante verdadeiro para a carga de colapso. Alternativamente, as formulações
fracas, embora não oferecendo quaisquer garantias de majoração ou minoração da
3.1. FORMULAÇÕES DE LIMITE SUPERIOR 31
carga de colapso com a estimativa obtida, procuram normalmente com a relaxação
das condições impostas no modelo consiguir atingir melhores soluções com menores
custos computacionais.
3.1 Formulações de limite superior
Existem na literatura inúmeras propostas alternativas de formulações fortes de limite
superior. Estas apresentam, no entanto, uma característica comum: a utilização
de elementos finitos com funções de aproximação polinomiais de grau reduzido,
produzindo campos de taxas de deformação constantes ou de variação linear no
domínio dos elementos. O motivo para tal reside na dificuldade em impor, de uma
forma exacta, a lei de escoamento plástico associada para os critérios de cedência
habitualmente adoptados [133].
Neste grupo de formulações, a primeira referência vai para o método cinemático com
regularização proposto por Gennouni e Le Tallec [50] e desenvolvido posteriormente
por Jiang [61] e Antão [9], que constitui a génese do modelo desenvolvido neste trabahyphen.alt
lho. Esta formulação elimina as descontinuidades do modelo através da substituição
de uma lei rígido-plástica por uma lei de regularização tipo Norton-Hoff, no cálculo
da dissipação plástica. São utilizadas duas aproximações distintas: a primeira interhyphen.alt
pola linearmente o campo das velocidades e a segunda aproxima o campo da taxa
das deformações, considerado constante no domínio dos elementos. Através do méhyphen.alt
todo do Lagrangeano aumentado é imposta a compatibilidade entre as aproximações
dos diferentes campos. Recorrendo a uma variante do algoritmo de Uzawa com rehyphen.alt
laxações, a solução do problema não linear de optimização resultante da formulação
é obtida. O referido algoritmo permite que, em [9], a não linearidade seja tratada
localmente através de uma minimização quadrática, sucedida por uma projecção da
solução sobre a superfície que delimita o espaço da taxa das deformações normais.
No trabalho de Lyamin e Sloan [82], os autores apresentam uma variante da formuhyphen.alt
lação proposta por Sloan [116], a qual utilizava programação linear. O novo modelo,
ao invés de uma linearização da superfície de cedência, apenas executa uma suavizahyphen.alt
ção da superfície junto de zonas com singularidades, seguindo a estratégia delineada
por Abbo e Sloan[1]. Surge, consequentemente, um problema de minimização não-
-linear que os autores resolvem com base num algoritmo quase-Newton com deflexão
32 CAPÍTULO 3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
de duas etapas, aplicando as condições de optimalidade de Kuhn-Tucker. Esta eshyphen.alt
tratégia é inspirada na formulação proposta por Zouain et al. [139]. O algoritmo
obtido revela um bom desempenho, com uma taxa de convergência que não é afechyphen.alt
tada pelo número de elementos da malha de elementos finitos e significativamente
mais rápida do que o anterior algoritmo de programação linear. Contudo, para alhyphen.alt
guns problemas considerados mais difíceis do ponto de vista numérico (tais como,
materiais de coesão nula ou com um elevado ângulo de atrito), pode-se observar um
mau condicionamento do sistema governativo perto da solução óptima, chegando
mesmo por vezes a impedir a convergência. Em trabalhos recentes de Sloan e seus
co-autores, estas dificuldades são mitigadas com base em formulações que exprimem
os critérios de cedência através de restrições cónicas de segunda ordem [70] e semihyphen.alt
-definidas positivas [71]. Com estes novos métodos deixa de ser necessário efectuar
as anteriores regularizações das superfícies de cedência, sendo o problema de minihyphen.alt
mização resultante agora resolúvel através de um algoritmo primal-dual de ponto
interior.
A utilização de programação cónica de segunda ordem no desenvolvimento de formuhyphen.alt
lações fortes de limite superior é igualmente relatada nos trabalhos de Makrodimohyphen.alt
poulos e Martin [87], [89], para problemas de deformação plana, utilizando elementos
subparamétricos triangulares de 3 nós de deformação linear.
No que respeita a formulações fracas, começa-se por destacar a formulação proposta
por Capsoni e Corradi [20]. Com base no conceito das deformações naturais assuhyphen.alt
midas (enhanced assumed strain, na denominação inglesa original), é desenvolvido
um elemento finito misto quadrilátero de 4 nós para problemas de deformação plana
com materiais puramente coesivos (utilizando o critério de von Mises ou Tresca). O
elemento incorpora uma relação de compatibilidade entre o campo de velocidades e
a taxa das deformações que assegura um comportamento sem locking e garante, a
priori, uma deformação isocórica, requerida pela lei de escoamento plástico. Utilihyphen.alt
zando o método dos multiplicadores de Lagrange, os autores introduzem a condição
de normalização do trabalho das forças exteriores na função objectivo, resultando
um problema de optimização sem restrições resolvido através do método de Newhyphen.alt
ton-Raphson com relaxações. Elementos que não dissipem energia no mecanismo,
comportando-se como corpos rígidos, introduzem singularidades no gradiente da funhyphen.alt
ção objectivo. De modo a evitar este problema numérico, crítico para a utilização
do método de Newton-Raphson, é introduzido no modelo uma tolerância, sendo que
3.2. FORMULAÇÕES DE LIMITE INFERIOR 33
a contribuição de elementos que tenham dissipações abaixo desta tolerância, é deshyphen.alt
prezada considerando-os automaticamente como rígidos. Nos trabalhos de Capsoni
e Corradi [21] e Aceti et al. [3], variantes desta formulação são apresentadas para a
análise de elementos de Laje de Mindlin e para problemas de placas 3D com simetria
de geometria e de carregamento em relação a um plano médio.
Li e Yu [74] desenvolveram uma formulação com base numa função de cedência gehyphen.alt
nérica para materiais friccionais, a qual permite modelar, entre outros, os critérios
de Mohr-Coulomb e de Drucker-Prager. Recorrendo a um elemento finito quadriláhyphen.alt
tero isoparamétrico, o modelo cinemático é derivado resultando num problema de
optimização não linear. Analogamente ao modelo anterior, os autores convertem o
problema original com restrições num problema de optimização sem restrições utilihyphen.alt
zando o método dos multiplicadores de Lagrange. O processo iterativo de resolução
assume que todos produzem dissipação. A identificação de elementos que não aprehyphen.alt
sentam dissipação no final de uma dada iteração (sendo por isso a sua expressão
da dissipação não diferenciável) é realizada através de uma estratégia passo-a-passo.
Para proceder à iteração seguinte introduz-se uma restrição no modelo, com base
no método das penalidades, por forma a que a dissipação nestes elementos conserve
um valor praticamente nulo.
3.2 Formulações de limite inferior
É usual que, sempre que possível, e em paralelo com o desenvolvimento das formulahyphen.alt
ções fortes de limite superior, os mesmos autores estudem e apresentem as variantes
que originam as formulações de limite inferior correspondentes, baseadas nas meshyphen.alt
mas técnicas de programação matemática. É dentro desta filosofia que surgem o
trabalho de Lyamin e Sloan [83], utilizando desta vez um elemento de equilíbrio, e
o trabalho de Makrodimopoulos e Martin [88] baseado em programação cónica de
segunda ordem. De igual modo, também Zouain et al. [139] tecem considerações
sobre o modo de obter a correspondente formulação de limite inferior.
Como exemplo de uma formulação de limite inferior fraca, refere-se o trabalho de
Christiansen [31] que utiliza um modelo misto, de elementos quadriláteros, com uma
aproximação do campo de tensões constante e bilinear para o das deformações. Para
resolver o problema de optimização resultante, o autor recorre a uma biblioteca de
34 CAPÍTULO 3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
optimização (comercial) denominada MINOS [96].
3.3 Descontinuidades
A Teoria da Análise Limite prevê a possibilidade de ocorrerem descontinuidades no
campo das velocidades. Existem diversas variantes de formulações de limite superior
que contemplam estas descontinuidades, combinando-as com um modelo contínuo
de elementos finitos. Uma das primeiras abordagens deste tipo pode ser encontrada
na formulação proposta por Bottero et al. [17], utilizando ainda programação linear.
É prática generalizada, para desenvolvimento das formulações com descontinuidades,
possibilitar ao modelo a formação de descontinuidades nas interfaces entre elementos
adjacentes, introduzindo para este efeito graus de liberdade adicionais nas interfahyphen.alt
ces. Exemplo desta abordagem é a formulação apresentada por Sloan e Kleeman
[117], onde elementos adjacentes têm nós não partilhados com coordenadas idêntihyphen.alt
cas, conduzindo naturalmente a um aumento de graus de liberdade na malha. Neste
trabalho os autores salientam a vantagem de introduzir descontinuidades no modelo
como forma de evitar fenómenos de locking em formulações fortes.
Em alternativa, Krabbenhøft et al. [69] propõe uma formulação que utiliza apenas
elementos contínuos, sendo as descontinuidades reproduzidas através de conjuntos
de elementos degenerados de espessura nula localizados na interface dos elementos.
Esta abordagem tem como grande vantagem a facilidade de implementação e ter uma
generalidade que a permite, em princípio, adaptar a qualquer formulação contínua
de limite superior. Os autores referem ainda que esta abordagem é perfeitamente
equivalente a uma estratégia de modelação explícita de descontinuidades.
3.4 Adaptividade
A utilização de algoritmos iterativos, agravada pelo elevado número de graus de
liberdade indispensáveis para a obtenção de estimativas de cargas de colapso de
elevada precisão, encontra-se inevitavelmente associada a um custo computacional
significativo. Para contornar esta dificuldade, diversos autores exploram a aplicação
de técnicas de adaptividade com o intuito de melhorar as soluções obtidas, identifihyphen.alt
3.4. ADAPTIVIDADE 35
cando zonas consideradas críticas, nas quais se procede ao refinamento da malha.
O primeiro aspecto que desde já se destaca é a aparente inexistência na literatura
técnica de trabalhos aplicados a estruturas 3D, para as quais a implementação de
uma abordagem adaptativa mais se justificaria. Este facto deve-se, sem dúvida, à
maior dificuldade associada à geração de malhas conformes 3D. O segundo aspecto
observado é que todas as propostas encontradas recorrem a um refinamento-h, no
qual o tamanho dos elementos da malha, h, é alterado para melhorar a precisão dos
resultados, mantendo porém as suas características.
Os primeiros trabalhos apresentando estratégias adaptativas para problemas de Anáhyphen.alt
lise Limite datam do início da presente década. Christiansen e Pedersen [32] estuhyphen.alt
dam a utilização de técnicas de refinamento de malhas triangulares, denominadas
de refinamento regular e refinamento por bissecção do lado mais longo, combinadas
com um critério de refinamento. A utilização de um critério de refinamento, em
detrimento do uso de um estimador local de erro, é uma clara limitação do método
proposto já que não permite prever um tamanho desejável para os elementos da
malha mas somente identificar as regiões a refinar. Os autores propõem e avaliam
o desempenho de dois critérios de refinamento distintos. O primeiro é a utilização
de uma norma das componentes da taxa de deformação, sendo o segundo baseado
na avaliação das tensões que não respeitam o critério de cedência. Dos exemplos
numéricos analisados, os autores concluem que todas as combinações de técnicas
de refinamento com os critérios propostos revelam um desempenho satisfatório, rehyphen.alt
gistando-se entre elas pequenas diferenças de desempenho, que são dependentes do
problema em estudo. Contudo, esta abordagem apresenta a limitação de carecer de
um estimador local de erro, não permitindo a previsão da dimensão desejável dos
novos elementos mas apenas a identificação das regiões a refinar.
Borges et al. [15] sugerem a utilização de um estimador local de erro anisotrópico,
baseado numa estimativa da matriz Hessiana do campo das velocidades. Assim, os
campos do gradiente e, finalmente, da Hessiana das velocidades são obtidos em ponhyphen.alt
tos com base numa média ponderada (pela razão inversa do quadrado da distância)
das contribuições de pontos vizinhos (inclusivamente de outros elementos). Este
modo de recuperar derivadas de um campo apresenta marcadas semelhanças com
a técnica de recuperação preconizada no conhecido método SPR (Superconvergent
Patch Recovery) proposto por Zienkiewicz e Zhu [138]. Constata-se que a utilizahyphen.alt
ção da Hessiana permite uma boa localização de regiões onde um campo regista
36 CAPÍTULO 3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
variações rápidas ou abruptas. Adicionalmente, a Hessiana constitui um estimador
de erro direccional. Esta propriedade é utilizada para produzir uma deformação
intencional na malha refinada, orientando e distorcendo os elementos ao longo das
descontinuidades identificadas, recorrendo para isso a um gerador de malhas trianhyphen.alt
gulares através da técnica de advancing front.
Lyamin et al. [80], utilizando a técnica de recuperação proposta no trabalho suprahyphen.alt
mencionado, fazem um estudo comparativo de forma a determinar qual o melhor
campo a utilizar como estimador de erro, testando as alternativas seguintes: (i) a
Hessiana do campo dos multiplicadores de Lagrange, (ii) a Hessiana do campo das
velocidades (a proposta inicial de [15]), (iii) o gradiente do campo das velocidades e
(iv) o campo dos multiplicadores de Lagrange recuperado. Dos exemplos numéricos
analisados concluiram que a hipótese (iii) era a que produzia melhores resultados.
Neste trabalho, os autores efectuaram ainda as necessárias adaptações de modo a que
o método proposto pudesse contemplar o uso de elementos de descontinuidade. Num
trabalho posterior [84], os mesmo autores propuseram ainda uma variante adaptada
a formulações de limite inferior. Esta permite ao algoritmo que gera a malha através
da técnica de advancing front, introduzir regiões com elementos orientados em forma
de leque (ilustrado na Figura 3.1), centrados em pontos com singularidades.
Figura 3.1: Malha com elementos orientados em forma de leque (retirado de [84])
Num trabalho recente, Ciria et al. [33] sugerem uma nova abordagem. Utilizando a
mesma discretização espacial, o mesmo problema é analisado através de uma formulahyphen.alt
ção de limite superior e a correspondente de limite inferior. Com base no confronto
dos resultados das duas análises, os autores propõem um estimador de erro local
resultante da diferença entre a energia plástica dissipada num elemento.
Capítulo 4
Formulação de elementos finitos para
o problema de análise limite
4.1 Introdução
No presente capítulo procede-se a uma apresentação detalhada do modelo de elehyphen.alt
mentos finitos desenvolvido. Esta formulação resulta de um processo evolutivo que
encontra a sua sua génese no modelo cinemático regularizado proposto por Antão[9].
A descrição do modelo desenvolvido neste trabalho é precedida da apresentação da
formulação numa sua versão inicial, proposta em [129], procedendo-se, de seguida,
à exposição faseada das alterações que foram sendo introduzidas. Entendeu-se que
esta opção contribuía para uma melhor compreensão da versão final do modelo aqui
proposto.
Porém, antes de prosseguir com esta apresentação convém relembrar um objectivo
assumido neste trabalho e que balizou os desenvolvimentos do modelo: considera-se
imperativo ser-se capaz de obter limites superiores estritos para a estimativa da
carga de colapso. Deste modo, os campos cinemáticos dos mecanismos de colapso
resultantes das soluções do modelo deverão cumprir todos os requisitos estabelecidos
no Teorema Cinemático.
37
38 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
4.2 Formulação inicial
Defina-se uma trajectória de carregamento linear, representada na Figura 4.1, atrahyphen.alt
vés da introdução do parâmetro de carga, λ. Para tal, considerem-se dois conjuntos
de carregamentos distintos: o primeiro é um carregamento variável, definido por
uma distribuição de forças de massa, bλ, e de forças de fronteira, tλ, cuja amplitude
é afectada pelo parâmetro de carga, λ ∈ R+0 ; o segundo é um carregamento fixo,
composto por uma distribuição de forças de massa, ˜b, e de forças de fronteira, ˜t.
{˜b,˜t}
{bλ,tλ}
carregamentos
limite
λc
ola
ps
o
λm
aj
or
an
te
trajectória 1
trajectória 2
aproximação cinemática
dos carregamentos limite
Figura 4.1: Trajectória de carregamento linear
Por forma a garantir a existência de solução única do problema de determinação
do parâmetro de carga de colapso, estipula-se que o carregamento fixo seja um carhyphen.alt
regamento admissível. Esta restrição, ao nível dos carregamentos fixos, inviabiliza
trajectórias de carregamento do tipo 2, garantindo a unicidade da solução do prohyphen.alt
blema visto que região dos carregamentos admissíveis é convexa.
Atendendo ao enunciado do Teorema Cinemático (secção 2.3) é possível afirmar que
um determinado valor de λ é um majorante do parâmetro de carga de colapso se
for possível arranjar um campo cinemáticamente admissível, não nulo, para o qual
o funcional,
J( ˙u, ˙ε,λ) = WD(˙ε)−
parenleftBigtildewider
W( ˙u) + λWλ( ˙u)
parenrightBig
, (4.1)
seja negativo. Na definição (4.1), a taxa do trabalho das forças variáveis, Wλ e a
4.2. FORMULAÇÃO INICIAL 39
taxa do trabalho das forças fixas, tildewiderW, são definidas por:
Wλ =
integraldisplay
Ω
bTλ ˙udΩ +
integraldisplay
Γσ
tTλ ˙udΓ, (4.2a)
tildewiderW =
integraldisplay
Ω
˜bT ˙udΩ +
integraldisplay
Γσ
˜tT ˙udΓ (4.2b)
Assim, é possível estabelecer se um determinado parâmetro de carga constitui um
majorante da carga de colapso através da formulação do seguinte problema de optihyphen.alt
mização:
Min J( ˙u, ˙ε) (4.3a)
sujeito a: ˙ε = B ˙u (4.3b)
˙ε∈Cc (4.3c)
˙u = 0 em Γu (4.3d)
A restrição (4.3b) estabelece a condição de compatibilidade (2.2), agora expressa
em forma matricial, onde a matriz B representa o operador diferencial de compatihyphen.alt
bilidade. Para o caso mais genérico, o dos problemas tridimensionais, este operador
assume o seguinte formato:
B =






∂
∂x · ·
· ∂∂y ·
· · ∂∂z
∂
∂y
∂
∂x ·
· ∂∂z ∂∂y
∂
∂z ·
∂
∂x






(4.4)
Por sua vez, as componentes independentes do tensor da taxa de deformação e as
componentes das velocidades são reunidas nos respectivos vectores pela seguinte
ordem:
40 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
˙ε =







˙εx
˙εy
˙εz
˙γxy = 2˙εxy
˙γyz = 2˙εyz
˙γxz = 2˙εxz







, ˙u =



˙ux
˙uy
˙uz


 (4.5a-b)
É possível concluir, com base no Teorema Cinemático, que, no caso do valor do
funcional J assumir um valor negativo na solução óptima do problema (4.3), então
o parâmetro de carga testado é um majorante da carga de colapso (λ greaterorequalslant λcolapso).
Contrariamente, não se podem retirar quaisquer conclusões sobre a natureza do
referido parâmetro de carga; seria necessário experimentar todos os campos cinemahyphen.alt
ticamente admissíveis para se poder inferir acerca da eventual admissibilidade do
carregamento.
SIM
SIM
NÃO
NÃO
Solução
λ∗ = λ
INICIAR
PARÂMETROS:
λR :λR > λc
λL :λL < λc
Resolver
Problema (4.3)
J < 0 ?
λR = λ
λL = λ
λ = λR + λL2
λR −λL ≤ TOL
Figura 4.2: Algoritmo de pesquisa do parâmetro de carga de colapso óptimo
Com base nos princípios enunciados, a procura do supremo dos majorantes da carga
de colapso em R+ pode ser realizada através de algoritmos do tipo do método da bishyphen.alt
secção, conforme é esquematizado na Figura 4.2. Em rigor, o algoritmo apresentado
não carece de condições tão restritivas como as acima enunciadas para assegurar
a sua convergência. Esta fica assegurada desde que exista apenas uma solução no
intervalo de pesquisa, [λL,λR]. Assim, não existe a necessidade de excluir trajectóhyphen.alt
rias do tipo 2 (ver Figura 4.1) com uma escolha criteriosa do intervalo de procura
4.2. FORMULAÇÃO INICIAL 41
do parâmetro de carga de colapso, podendo mesmo o domínio de λ ser alargado a
λ ∈R.
4.2.1 Modelo Misto de Elementos Finitos
O problema (4.3) é agora discretizado através da técnica dos elementos finitos. O
presente modelo misto caracteriza-se pela adopção de aproximações independentes
para dois campos distintos: o campo das velocidades e o campo da taxa das deforhyphen.alt
mações plásticas. Estas aproximações são expressas do seguinte modo:
˙ui(x,y,z) = {vx,vy,vz}Ti = Ni(x,y,z)di em Ωi (4.6)
˙εi(x,y,z) = {˙εx, ˙εy, ˙εz,2˙εxy,2˙εyz,2˙εxz}Ti = ei em Ωi (4.7)
Na definição 4.6, em referência ao i-ésimo elemento finito representado pelo domínio
Ωi, a matriz Ni agrupa as funções de aproximação e o vector di contém os pesos
das respectivas funções de aproximação, cujo valor representa a velocidade nodal
dos elementos finitos. Como funções de aproximação são adoptadas as funções de
forma nodais convencionais [136] associadas a elementos de deformação constante,
nomeadamente, o elemento triangular de 3 nós para problemas planos e o tetraedro
de 4 nós para problemas tridimensionais. Na aproximação do campo da taxa de
deformação assume-se que o valor da deformação é constante em cada elemento
finito, sendo as componentes da taxa de deformação de cada elemento armazenadas
no vector ei.
Estabelecidos os critérios de aproximação, prossegue-se com a reformulação do prohyphen.alt
blema inicial de optimização (4.3), que rege o presente modelo, recorrendo ao método
do Lagrangeano Aumentado (ver e.g. [100]). Através desta abordagem, a condição
de compatibilidade (4.3b) é estabelecida de uma forma ponderada na função objechyphen.alt
tivo através da aplicação de multiplicadores de Lagrange, µ. A referida condição é
reforçada através da introdução de um termo quadrático de penalidade, controlado
pelo parâmetro, r ∈R+.
42 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
Min L( ˙u, ˙ε,µ) = J( ˙u, ˙ε) +
integraldisplay
Ω
µT (B ˙u− ˙ε)dΩ + r2
integraldisplay
Ω
|B ˙u− ˙ε|2 dΩ
sujeito a: ˙ε∈Cc
(4.8)
De um ponto de vista físico os multiplicadores de Lagrange µ, representam a granhyphen.alt
deza dual do campo da taxa de deformação, i.e., o campo das tensões, verificando-se
necessariamente para o óptimo da solução do problema (4.8) a consistência energéhyphen.alt
tica: integraldisplay
Ω
D(˙ε)dΩ =
integraldisplay
Ω
µT ˙εdΩ (4.9)
Constate-se que neste novo problema (4.8), a condição de compatibilidade na fronhyphen.alt
teira (4.3d) foi aparentemente ignorada. No entanto, esta condição ficará automatihyphen.alt
camente verificada aquando da introdução no modelo da aproximação do campo das
velocidades através da eliminação dos graus de liberdade associados a nós com deshyphen.alt
locamentos restringidos, seguindo um procedimento usual do Método do Elementos
Finitos (MEF) para a aplicação de condições de fronteira cinemática [136].
Introduzindo agora as aproximações dos campos cinemáticos (4.6) e (4.7) e atenhyphen.alt
dendo à definição (4.1), o funcional Lagrangeano de (4.8) é expandido e redefinido
em relação às variáveis discretas do problema do seguinte modo:
L(d,e,µ) =
nEsummationdisplay
i=1
integraldisplay
Ωi
D(ei)dΩ−
nEsummationdisplay
i=1
parenleftbiggintegraldisplay
Ωi
˜bT Ni dΩ +
integraldisplay
Γσi
˜tT Ni dΓ
parenrightbigg
di
−λ
nEsummationdisplay
i=1
parenleftbiggintegraldisplay
Ωi
bTλ Ni dΩ +
integraldisplay
Γσi
tTλ Ni dΓ
parenrightbigg
di
+
nEsummationdisplay
i=1
integraldisplay
Ωi
µTi (BNi)dΩdi −
nEsummationdisplay
i=1
integraldisplay
Ωi
µTi ei dΩ
+ r2
nEsummationdisplay
i=1
dTi
integraldisplay
Ωi
(BNi)T(BNi)dΩdi
−r
nEsummationdisplay
i=1
dTi
integraldisplay
Ωi
(BNi)Tei dΩ + r2
nEsummationdisplay
i=1
integraldisplay
Ωi
eTi ei dΩ
(4.10)
4.2. FORMULAÇÃO INICIAL 43
4.2.2 Algoritmo de programação matemática
A procura da solução óptima do problema resulta na procura de um ponto de sela do
funcional, recorrendo-se para o efeito a uma variante do algoritmo iterativo de Uzawa
(ver Figura 4.3) explanada em [47]. O algoritmo de Uzawa, incluindo igualmente
nesta denominação as suas variantes, apresenta como principal atractivo para a sua
aplicação uma convergência muito robusta. Uma descrição detalhada do algoritmo
de Uzawa e das suas propriedades de convergência podem ser encontradas em [47].
Na sua forma original, o algoritmo de Uzawa determina a solução do problema de
ponto sela resultante da aplicação do método do Lagrangeano Aumentado, através
de um processo iterativo composto por duas etapas distintas [100]. Na primeira
etapa, procede-se à minimização da função Lagrangeana em relação às variáveis de
optimização primais, representadas por d e e no presente problema. Na segunda
etapa, realiza-se a actualização das variáveis duais, os multiplicadores de Lagrange,
µ, com base no erro observado nas restrições associadas aos respectivos multiplihyphen.alt
cadores. Neste caso, a expressão de actualização dos multiplicadores de Lagrange
pode ser expressa do seguinte modo:
µk+1i = µki + r(BNidki −eki ) (4.11)
No entanto, em problemas de optimização não-lineares observa-se frequentemente
que, tal como sucede neste caso, a minimização da função Lagrangeana, necessária
durante a primeira etapa do algoritmo de Uzawa conforme acima descrito, resulta
num problema numérico de elevada complexidade. É precisamente com o propósito
de ultrapassar esta dificuldade que surge a variante do algoritmo de Uzawa adoptada.
Seguindo a estratégia proposta em [47], é introduzida uma relaxação na minimização
requerida na primeira etapa do método de Uzawa. Assim, conforme se observa na
Figura 4.3, a minimização é realizada em duas fases, sucessivas e independentes,
em relação às variáveis do campo de velocidades, d, e às do campo da taxa de
deformações, e. Refira-se ser possível demonstrar que a convergência do algoritmo
fica assegurada para qualquer valor do número de ciclos de relaxação, m, adoptado
[47].
44 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
replacemen
m número de
ciclos alcançado? erro≤ TOL ?
SIM
SIM
NÃO
NÃOFASE 1:
FASE 2:
SAIR
k = 0, m = 0,
iniciar os valores dos
vectores µ0 e e0,0
m = m + 1
com µk e ek,m−1 fixos:
Min L(dk,m)
com µk e dk,m fixos:
Min L(ek,m)
µk+1i = µki + r(BNidk,mi −ek,mi )
ek+1,0 = ek,m
k = k + 1, m = 0
Figura 4.3: Variante do algoritmo de Uzawa
4.2.2.1 Minimização global (FASE 1)
O problema de minimização presente na FASE 1 do algoritmo de Uzawa (4.3) é
denominado de minimização global, uma vez que, ao ser realizada em relação ao
campo de velocidades, envolve, simultaneamente, a contribuição de todos os elemenhyphen.alt
tos finitos que discretizam o domínio. Esta minimização passa pela determinação
do ponto de estacionaridade do funcional de Lagrange (4.10) em relação à variável
primal d,
∂L(d,e,µ)
∂d = 0 (4.12)
A condição (4.12) resulta num sistema de equações lineares, expresso do seguinte
modo:
rAdk,m = λF + ˜F −Λk +Lk,m−1 (4.13)
4.2. FORMULAÇÃO INICIAL 45
onde,
A =
nEsummationdisplay
i=1
integraldisplay
Ωi
(BNi)T(BNi)dΩ (4.14a)
˜F =
nEsummationdisplay
i=1
parenleftbiggintegraldisplay
Ωi
NTi ˜bdΩ +
integraldisplay
Γσi
NTi ˜tdΓ
parenrightbigg
(4.14b)
F =
nEsummationdisplay
i=1
parenleftbiggintegraldisplay
Ωi
NTi bλ dΩ +
integraldisplay
Γσi
NTi tλ dΓ
parenrightbigg
(4.14c)
Λk =
nEsummationdisplay
i=1
integraldisplay
Ωi
(BNi)T(µi)k dΩ (4.14d)
Lk,m−1 = r
nEsummationdisplay
i=1
integraldisplay
Ωi
(BNi)T(ei)k,m−1 dΩ (4.14e)
É importante salientar que a matriz do sistema governativo, A, permanece inaltehyphen.alt
rada no decorrer de todo o processo iterativo. Apenas os termos independentes, Λ
e L, registam modificações nos seus valores. Este facto é de grande importância
do ponto de vista da eficiência numérica, já que permite que o cálculo dos termos
e a factorização da matriz sejam realizados apenas uma vez. Assim, a obtenção
da solução do problema (4.13) resume-se à execução de um processo combinado de
substituição directa e retrosubstituição do termo independente, com a matriz A
previamente factorizada, pouco dispendioso no que respeita ao tempo de cálculo.
Por último, refere-se que o cálculo e assemblagem do sistema governativo (4.13)
podem ser realizados de forma análoga aos procedimentos convencionalmente precohyphen.alt
nizados para o MEF [136].
4.2.2.2 Minimização local (FASE 2)
Na FASE 2 procede-se a uma minimização do funcional de Lagrangeano (4.10) em
relação à variável primal e associada à aproximação do campo da taxa de deformahyphen.alt
ções. Em contraste com a minimização precedente e uma vez que a aproximação
adoptada para o campo da taxa de deformações é restrita a cada elemento, a minihyphen.alt
mização desta fase pode ser realizada elemento a elemento, de modo independente.
Desta forma, designa-se a presente de minimização local.
46 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
Eliminando do funcional Lagrangeano os termos não afectados pela variável primal
de decisão e, resulta:
L∗i(ei) =
integraldisplay
Ωi
D(ei)dΩ−
integraldisplay
Ωi
µTi ei dΩ−r
integraldisplay
Ωi
(BNidi)Tei dΩ+ r2
integraldisplay
Ωi
eTi ei dΩ (4.15)
A fim de simplificar a notação utilizada, as expressões são aqui escritas sem os índices
k e m referentes aos ciclos do algoritmo de Uzawa.
Introduzindo agora a definição do vector s,
si = {sx,sy,sz,2sxy,2syz,2szx}Ti = µi + rBNidi (4.16)
o qual reúne as componentes do tensor Si,
Si =


sx sxy szx
sxy sy syz
szx syz sz


i
(4.17)
na expressão (4.15), o problema de minimização local pode ser expresso da seguinte
forma:
Min L∗i(ei) = D(ei)−sT ei + r2eTi ei
sujeito a: ei ∈Cc
(4.18)
Tendo em consideração que o campo da taxa de deformação é assumido como conshyphen.alt
tante em cada elemento, foi possível eliminar o integral no domínio da função objechyphen.alt
tivo (4.15) sem afectar a solução óptima do problema.
Uma característica não-linear é conferida ao problema de minimização local através
da expressão da dissipação, D(ei), e/ou da condição de normalidade, ei ∈ Cc. O
facto de se tratar de uma minimização não-linear sujeita a restrições aumenta a
complexidade deste problema comparativamente ao problema de minimização glohyphen.alt
bal da FASE 1. No entanto, o número reduzido do número de variáveis locais,
respectivamente 3 ou 6 deformações por elemento no caso de problemas planos ou
3D, contribui significativamente para a simplificação do problema. Esta pode ser
considerada como uma das estratégias fundamentais da abordagem adoptada neste
trabalho: tendo como ponto de partida um problema inicial não linear de elevada
4.2. FORMULAÇÃO INICIAL 47
complexidade, transformá-lo de modo a que as dificuldades inerentes à não linearihyphen.alt
dade sejam transpostas através da resolução de um conjunto de sub-problemas não
lineares de optimização, independentes entre si, de menor dimensão e consequentehyphen.alt
mente de mais fácil resolução.
Com o intuito de reduzir ainda mais as dimensões do espaço das variáveis de decisão,
o problema (4.18) é reformulado agora no espaço das direcções principais do tensor
da taxa de deformação, de acordo com trabalho desenvolvido em [72], atingido a sua
forma final, expressa do seguinte modo:
Min L∗i(tildewideei) = D(tildewideei)−tildewidesTi tildewideei + r2tildewideeTi tildewideei
sujeito a: tildewideei ∈Cc
(4.19)
onde o vector, tildewideei = {eI,eII,eIII}Ti , reúne as componentes principais da taxa de
deformação, sendo que o vector tildewidesi = {sI,sII,sIII}Ti é composto pelos valores próhyphen.alt
prios do tensor Si, ordenados decrescentemente. É ainda demonstrado em [72] que
a seguinte transformação de coordenadas se verifica,


ex exy ezx
exy ey eyz
ezx eyz ez


i
= Y i


eI · ·
· eII ·
· · eIII


i
Y Ti (4.20)
onde a matriz de transformação Y i agrupa em colunas os vectores próprios normahyphen.alt
lizados do tensor, Si, associados aos seus valores próprios. Por último, refere-se que
devido à definição das expressões da dissipação, D, tendo por base a assunção de um
comportamento isotrópico para materiais, é fácil concluir que a ordenação adoptada
para o vector tildewidesi se reflecte de igual modo na ordenação das componentes da taxa
de deformação,
eI ≥ eII ≥ eIII (4.21)
As estratégias adoptadas para a resolução do problema (4.19) diferem consoante o
tipo de critério de cedência adoptado. Na secção 5.3, as estratégias numéricas de mihyphen.alt
nimização local são apresentadas e discutidas em detalhe para os diferentes critérios
utilizados. Desde já se adianta que as abordagens utilizadas distinguem-se essencialhyphen.alt
mente consoante os materiais exibam um comportamento friccional ou apresentem
48 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
um comportamento puramente coesivo.
4.2.3 Observações finais sobre a formulação inicial
Para concluir a apresentação da formulação inicial tecem-se algumas considerações
sobre características e comportamento da mesma.
4.2.3.1 Majorantes rigorosos de cargas de colapso
Esta primeira observação sublinha o facto do modelo ser capaz de produzir majoranhyphen.alt
tes rigorosos de cargas de colapso, querendo com esta afirmação dizer-se que existe
um cumprimento estrito dos pressupostos enunciados Teorema Cinemático. Emhyphen.alt
bora as condições de compatibilidade sejam impostas na função Lagrangeana (4.8)
de uma forma ponderada, estando-se por isso na presença de uma formulação dita
fraca, a escolha criteriosa das aproximações adoptadas para os campos cinemáticos
(4.6 e 4.7) confere ao modelo a capacidade de cumprir localmente as condições de
compatibilidade. Assim sendo, o modelo produz soluções cinematicamente admissíhyphen.alt
veis e consequentemente majorantes rigorosos para as cargas de colapso.
4.2.3.2 Problemas de locking
O objectivo de obter uma formulação de elementos finitos baseada no estrito cumprihyphen.alt
mento do Teorema Cinemático forçao recurso à utilização de funções de aproximação
de grau reduzido, de modo a ser possível respeitar a condição de normalidade do
escoamento plástico (4.3c) em todos os pontos do domínio do elemento. No presente
caso recorre-se a funções lineares e constantes para a aproximação do campo das
velocidades e da taxa de deformação, respectivamente.
A referida condição de normalidade introduz no modelo uma restrição acrescida,
reduzindo os seus graus de liberdade efectivos. No caso de materiais puramente
coesivos, como os critérios de Tresca e de von Mises, resulta que o escoamento
plástico se deve processar em condições de incompressibilidade volumétrica, para
problemas de deformação plana e problemas 3D, traduzidas pelas condições (2.14)
e (2.20). Deste modo, fenómenos de locking são susceptíveis de ocorrer. O locking
4.2. FORMULAÇÃO INICIAL 49
é um problema numérico bem documentado na literatura (ver e.g. [59], [137]) que
algumas formulações de elementos finitos revelam, devido ao qual as soluções obtidas
demonstram uma perda significativa de qualidade, resultado de uma rigidez excessiva
do modelo. Esta anomalia numérica é muitas vezes originada devido à imposição de
condições de incompressibilidade.
Para os critérios friccionais considerados (Mohr-Coulomb e Drucker-Prager) a con-
dição de normalidade é expressa através de uma desigualdade, (2.23) e (2.26), que
é de certa forma menos restritiva do que a igualdade imposta para os materiais puhyphen.alt
ramente coesivos. Contudo a situação de desigualdade, correspondente a estados de
tensão localizados no ápex das superfícies de cedência, Figura 2.4(c,d), não é usuhyphen.alt
almente solicitada, prevalecendo a situação de igualdade. Deste modo, a utilização
de materiais friccionais não elimina a possibilidade de ocorrência de fenómenos de
locking, conforme é demonstrado em [16], ainda que mais atenuados pela activação
da hipótese de desigualdade na condição de normalidade.
É possível eliminar este efeito, para o caso de problemas de deformação plana,
recorrendo a um arranjo especial dos elementos finitos evidenciado em [98]. Assim,
conforme é representado na Figura 4.4(a), cada conjunto de 4 triângulos deverá
formar um quadrilátero, sendo importante verificar que o nó central se localiza na
intersecção das diagonais.
Para as malhas 3D segue-se um procedimento similar, ilustrado na Figura 4.4(b).
Cada conjunto de 24 tetraedros deverá formar um hexaedro. Cada um dos tetraehyphen.alt
dros deverá ser formado por dois nós posicionados nos vértices do hexaedro, um nó
localizado a meio de uma das faces do hexaedro na intersecção das diagonais, e por
último o nó central correspondente ao baricentro do hexaedro. É importante sublihyphen.alt
nhar que com o arranjo anteriormente descrito pretende-se apenas mitigar o efeito
de locking, visto que esse não garante sua supressão. Contrariamente ao caso 2D,
não foi possível encontrar na literatura a descrição de um arranjo para elementos
tetraédricos de 4 nós que demonstrasse ser comprovadamente eficaz.
4.2.3.3 Determinação de cargas de colapso
Numa primeira análise do algoritmo de pesquisa do parâmetro de carga de colapso
(Figura 4.2) depreender-se-ia que para determinar se cada valor do parâmetro de
50 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
(a) Divisão de 1 elemento
quadrilátero em 4 triânguhyphen.alt
los
(b) Divisão de 1 hexaedro em 24 tetrahyphen.alt
edros
Figura 4.4: Arranjo de elementos 2D e 3D para mitigar o efeito de locking
carga testado, λ, majora o valor correspondente à rotura é necessário obter a solução
do problema (4.3) para o valor do parâmetro de carga em questão. A verificação
deste facto comprometeria necessariamente a aplicabilidade do método apresentado
visto que o custo computacional requerido para a resolução de um problema tornarhyphen.alt
se-ia incomportável. Mostra-se no entanto que tal não é necessário.
De facto, observe-se que para qualquer valor interior do parâmetro de carga, deno-
minando-se como interior um valor para o qual a solução no óptimo do problema
(4.3) verifique,
J(λ) ≥ 0 , (4.22)
a solução é necessariamente um mecanismo nulo, já que a este corresponde um valor
igualmente nulo do funcional, J. Verifica-se que para valores interiores, fora da
vizinhança da solução do algoritmo da Figura 4.2, o algoritmo de Uzawa exibe, após
um número reduzido de iterações, o seguinte comportamento:
J(dk,ek) > J(dk+1,ek+1) > ··· > J(dk+n,ek+n) ≥ 0 (4.23)
Para um valor do parâmetro de carga dito exterior, caracterizado por,
J(λ) < 0 , (4.24)
e admitindo também que este se encontra fora da vizinhança da solução do algoritmo
da Figura 4.2, o problema (4.3) tal como é formulado resulta num problema de
4.2. FORMULAÇÃO INICIAL 51
solução não limitada, para o qual,
J(λ) →−∞ (4.25)
Neste caso, o algoritmo de Uzawa exibe, após um número reduzido de iterações,
uma tendência acentuada para o decréscimo do valor do funcional J,
0 > J(dk,ek) > J(dk+1,ek+1) > ··· >> J(dk+n,ek+n) (4.26)
Deste modo, é possível determinar uma vizinhança para o parâmetro de carga de
colapso, recorrendo a um número global pouco significativo de iterações do algoritmo
de Uzawa.
Contudo, entrando na vizinhança da solução e embora as causas que originam os
comportamentos anteriormente descritos permaneçam válidas, estes últimos mani-
festam-se de forma menos pronunciada. Este fenómeno resulta, para alguns prohyphen.alt
blemas, na necessidade de um acréscimo relevante do número de iterações do alhyphen.alt
goritmo de Uzawa necessárias para se poder retirar conclusões quanto à natureza
(interior/exterior) do valor do parâmetro de carga a testado. A prática revela que
a sensibilidade a este problema é dependente do problema analisado, verificandohyphen.alt
-se por regra que a utilização de materiais com critérios friccionais com ângulos de
atrito elevados acentua este fenómeno. Naturalmente, este problema prejudica o
desempenho da implementação numérica da formulação no que respeita ao custos
computacionais, sendo um dos aspectos que se tentou melhorar durante o presente
trabalho de investigação.
Por último refere-se que, para o majorante óptimo da carga de colapso, λ∗, o prohyphen.alt
blema (4.3) tem uma solução degenerada múltipla. Para mostrar este facto basta
observar que, sendo a dissipação plástica por unidade de volume, D, uma função hohyphen.alt
mogénia de grau 1, qualquer mecanismo não nulo, obtido a partir do mecanismo de
colapso através da aplicação de um factor de escala, κ, é também ele necessariamente
um mecanismo de colapso,
WD(e∗) = We(d∗,λ∗) ⇒ WD(κ·e∗) = We(κ·d∗,λ∗), ∀ κ ∈R+ (4.27)
52 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
4.3 Formulação dual do modelo inicial
Nesta secção é descrita a dedução de uma formulação dual do modelo inicial. Esta
será aqui apresentada tendo como ponto de partida o seguinte princípio: a solução
óptima do problema (4.3), para um parâmetro de carga interior, é um campo cihyphen.alt
nemático nulo. A validade da afirmação anterior pode ser facilmente demonstrada,
bastando para isso constatar que o valor da função objectivo para um campo nulo é
também ele nulo (J = 0) e que qualquer outra solução que melhore a minimização
do valor da função objectivo (J < 0) não é por definição um parâmetro de carga
interior. Adicionalmente, salienta-se que, no limite, o maior parâmetro de carga
interior, na transição para os parâmetro de carga exteriores, é um majorante da
carga de colapso: o melhor para a discretização adoptada.
Deste modo, torna-se imprescindível determinar quais as condições que devem ocorhyphen.alt
rer para que a solução do problema (4.8) seja nula:
braceleftBigg
d = 0
e = 0 (4.28a-b)
Da análise do algoritmo iterativo de resolução pode-se constatar que, para obter uma
solução nula, é necessário que ambas as soluções do problemas de minimização global
e local sejam consecutivamente nulas. Entenda-se por soluções consecutivamente
nulas aquelas em que, da iteração k para a interação seguinte, k +1, se observa que
os valores das incógnitas permanecem nulos,
dk = ek = 0 ⇒dk+1 = ek+1 = 0 (4.29)
Note-se agora que, sendo a matriz do sistema governativo global (4.13) não singular,
a obtenção de uma solução nula só é possível caso o termo indepente deste sistema
seja igualmente nulo. Atendendo às definições (4.13) e (4.14), a condição enunciada
para o termo independente pode ser expressa do seguinte modo:
λF + ˜F −Λ = 0 (4.30)
Considera-se indispensável interpretar o significado de (4.30). Para tal, comece-se
4.3. FORMULAÇÃO DUAL DO MODELO INICIAL 53
por reescrever a condição de equilíbrio (2.34), desta feita de uma forma matricial,
BTσ + (˜b+ λbλ) = 0 (4.31)
Impondo esta condição sob a forma de resíduos pesados, através do método de
Galerkin [137], utilizando como funções de peso as funções de aproximação do campo
das velocidades, N, vem:
integraldisplay
Ω
NT(BTσ)dΩ +
integraldisplay
Ω
NT(˜b+ λbλ)dΩ = 0 (4.32)
Em seguida, procede-se à integração por partes do termo das tensões, obtendo-se,
−
integraldisplay
Ω
(BN)TσdΩ +
integraldisplay
Γσ
NTnσdΓ = −
integraldisplay
Ω
NT(˜b+ λbλ)dΩ (4.33)
onde n simboliza a matriz que reúne as componentes do versor da normal exterior
à fronteira, de acordo com o operador diferencial de equilíbrio, BT. Esta última
assume a seguinte configuração no caso específico dos problemas tridimensionais:
n =


nx · · ny · nz
· ny · nx nz ·
· · nz · ny nx

 (4.34)
Atendendo à condição de equilíbrio (2.35) o termo de fronteira presente em (4.33)
pode ser reescrito, resultando:
−
integraldisplay
Ω
(BN)TσdΩ +
integraldisplay
Γσ
NT(˜t+ λtλ)dΓ = −
integraldisplay
Ω
NT(˜b+ λbλ)dΩ (4.35)
Prossegue-se assumindo que o campo das tensões é aproximado por um campo conshyphen.alt
tante em cada elemento, utilizando-se as variáveis duais do problema inicial, µ, para
exprimir esta aproximação,
σi(x,y,z) = {σx,σy,σz,σxy,σyz,σxz}Ti = µi em Ωi (4.36)
Finalmente, introduzindo em (4.33) a aproximação do campo das tensões (4.36)
54 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
resulta a condição discreta de equilíbrio da formulação:
B∗µ = λF + ˜F (4.37)
em que,
B∗ =
nEsummationdisplay
i=1
integraldisplay
Ωi
(BNi)TdΩ (4.38)
Para concluir, salienta-se que, da comparação das expressões (4.30) e (4.37), facilhyphen.alt
mente se constata que estas são perfeitamente equivalentes.
A condição de equilíbrio (4.37) não é, porém, suficiente para garantir a solução
(4.28). Com efeito, é ainda necessário que a solução do problema de minimização
local (4.19) seja igualmente nula. Para tal, comece-se por observar que, em resultado
de (4.28a), a expressão (4.16) que define o vector s é simplificada,
si = µi (4.39)
Atendendo a este facto, a expressão da função objectivo do problema (4.19), pode
ser escrita na forma:
L∗i(tildewideei) = D(tildewideei)−tildewideµTi tildewideei + r2tildewideeTi tildewideei (4.40)
onde, tildewideµi é o vector que reúne as componentes principais das tensões.
Demonstra-se de seguida que, para que a solução óptima do problema local (4.19)
seja nula, basta, recorrendo à função de cedência, impor:
f(tildewideµi) ≤ 0 (4.41)
Com efeito, constate-se que tildewideei tem de obedecer à regra da normalidade por restrição
imposta em (4.19). Assim sendo, o PTPM garante que, caso a condição (4.41) se
verifique, se obtém o seguinte resultado:
D(tildewideei)−tildewideµTi tildewideei ≥ 0 ⇒L∗i(tildewideei) ≥ 0 (4.42)
Em consequência, a solução óptima de (4.19) é necessariamente, tildewideei = 0.
Note-se que, não se verificando a condição de cedência (4.41), é possível definir a
4.3. FORMULAÇÃO DUAL DO MODELO INICIAL 55
seguinte decomposição para o vector tildewideµi (ver Figura 4.5):
tildewideµi = µs +µe | f(µs) = 0 (4.43)
Atendendo à decomposição anterior, a função objectivo (4.40) para deformações,
tildewideei,s, associadas ao estado de tensão, µs, pode ser escrita da seguinte forma:
L∗i(tildewideei,s) = −µTetildewideei,s + r2tildewideeTi,stildewideei,s (4.44)
Convém sublinhar que, sendo o vector, tildewideei,s, uma normal exterior à superfície de
cedência (que delimita um espaço convexo), o valor do produto interno, µTetildewideei,s, é
necessariamente positivo, concluindo-se então que, neste caso e contrariamente ao
pretendido, a solução óptima não seria nula.
µe
µs
tildewideei,s
O
f(σ
) =
0
Figura 4.5: Decomposição do vector, µi
Face ao exposto, é finalmente possível formular oproblema de optimização domodelo
dual:
Máx λ (4.45a)
sujeito a: B∗µ = λF + ˜F (4.45b)
f(µi) ≤ 0 (4.45c)
É interessante notar que esta definição tem a forma habitualmente associada às
formulações de limite inferior, baseadas no Teorema Estático; todavia, tendo em
conta a formacomo foi realizada a sua dedução, a solução desta formulação produzirá
56 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
necessariamente um majorante da carga de colapso.
4.3.1 Estratégia de resolução do problema dual
Considere-se o seguinte sistema de equações, proveniente da restrição (4.45b),
Θz = ˜F (4.46)
em que, Θ é uma matriz de dimensão n×m, com n > m, composta pelos blocos
B∗ e F,
Θ = [B∗|−F] (4.47)
e o vector das incógnitas do problema, z, apresenta a seguinte estrutura:
z =
braceleftBigg
µ
λ
bracerightBigg
(4.48)
Através de uma Decomposição em Valores Singulares (SVD, adoptando o usual
acrónimo inglês de Singular Value Decomposition), a solução do sistema subdefinido
pode ser expressa do seguinte modo:
z = w +Mx (4.49)
onde o vector w é uma solução possível do sistema de equações (4.46), as colunas
da matriz M formam uma base do espaço nulo da matriz Θ e o vector x é uma
nova incógnita do problema, definindo o peso da combinação linear das colunas de
Θ. Os vectores da base são normalizados por forma a,
MTM = I (4.50)
É de salientar que a necessidade de uma factorização SVD, com o custo computacihyphen.alt
onal que ela acarreta, contribuem negativamente para o desempenho desta formulahyphen.alt
ção, inviabilizando a sua competitividade face à formulação primal correspondente.
Recorrendo aométodo do Lagrangeano Aumentado e considerando o resultado (4.49)
obtém-se o seguinte problema de minimização, equivalente ao problema do modelo
4.3. FORMULAÇÃO DUAL DO MODELO INICIAL 57
dual (4.45),
Min Ld(x,z,η) = CTMx+ηT (w +Mx−z) + r2|w +Mx−z|2
sujeito a: f(µi) ≤ 0
(4.51)
onde η representa o vector dos multiplicadores de Lagrange da formulação dual e a
definição do vector, CT, é dada por,
CT = {0,··· ,0,−1}T (4.52)
Analogamente à formulação primal, recorre-se à variante do algoritmo de Uzawa com
relaxação para resolver o problema (4.51). Assim, da condição de estacionaridade
em relação à variável x, obtém-se,
Ld(x,z,η)
∂x = 0 ⇒ rM
TMx = MTparenleftbig−(C +η)−r(w−z)parenrightbig (4.53)
Atendendo a (4.50) obtém-se seguinte expressão, que permite proceder à etapa de
minimização global:
xk,m = MT
parenleftbigg
−1r(C +ηk)−w +zk,m−1
parenrightbigg
(4.54)
Por sua vez, da condição de estacionaridade em relação à variável, z, obtém-se,
Ld(x,z,η)
∂z = 0 ⇒z =
1
rη +w +Mx (4.55)
Com base no resultado anterior, é possível obter a solução da minimização global
através da projecção sobre a superfície de cedência das soluções obtidas que não
satisfaçam a restrição (4.45c). Este procedimento é descrito em detalhe para as
restrições da formulação primal no Capítulo 5, sendo trivial a sua adaptação à
formulação dual.
Por fim, menciona-se que a actualização dos multiplicadores de Lagrange é realizada
através da seguinte expressão:
ηk+1 = ηk + r(w +Mxk −zk) (4.56)
58 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
4.4 Formulação proposta
Apresentam-se nesta secção as inovações introduzidas na formulação inicial anteriorhyphen.alt
mente descrita. Este desenvolvimentos resumem-se em quatro aspectos, explanados
em seguida.
A primeira inovação consiste na imposição de uma escala ao mecanismo de colapso
através da normalização do trabalho produzido pelo carregamento variável. Esta
medida conduz à reformulação do problema de optimização (4.3), permitindo que a
solução do novo problema corresponda ao parâmetro da carga de colapso óptima.
Deste modo, evita-se a necessidade de testar diversos parâmetros de carga, resultanhyphen.alt
tes de um algoritmo auxiliar de pesquisa da carga de colapso, como o indicado na
Figura 4.2. Paralelamente, fica igualmente excluído o fenómeno de degeneração da
solução no óptimo com a possibilidade de ocorrência de múltiplas soluções, referida
na secção 4.2.3.3 aquando da análise do algoritmo de determinação de cargas de
colapso.
A segunda inovação processa-se a dois níveis bem distintos:
i. a passagem de uma formulação dita fraca para uma formulação dita forte. A
condição de compatibilidade (4.3b) imposta ponderadamente no funcional Lahyphen.alt
grangeano (4.8), passará a ser imposta localmente. Esta alteração conceptual
foi realizada de forma a permitir a fácil introdução no modelo da modificação
subsequente, continuando a garantir a verificação estrita dos pressupostos estahyphen.alt
belecidos no Teorema Cinemático;
ii. o enriquecimento do grau das funções de aproximação. A formulação é generahyphen.alt
lizada por forma a comportar a utilização de elementos finitos com velocidades
quadráticas correspondendo a taxas de deformação lineares.
A terceira inovação consiste na introdução de descontinuidades no campo de velocihyphen.alt
dades. Para este efeito foram estudadas duas estratégias distintas. Na primeira, as
descontinuidades no campo de velocidades são simuladas através de fortes gradienhyphen.alt
tes no campo das taxas de deformação, introduzindo, na interface de dois elementos
adjacentes, elementos degenerados de volume nulo. Esta estratégia consiste na adaphyphen.alt
tação para a presente formulação da abordagem proposta em [69]. Alternativamente,
4.4. FORMULAÇÃO PROPOSTA 59
foram desenvolvidos elementos de descontinuidade. Neste caso, as descontinuidades
no campo das velocidades são introduzidas de um modo explícito no modelo.
A quarta e última inovação resulta de modificações no algoritmo de Uzawa, de modo
a melhorar o seu desempenho no que respeita à rapidez de convergência. Estas
alterações passam, fundamentalmente, pela implementação de uma estratégia para
estimar o melhor valor inicial do parâmetro de penalidade, r, combinada com um
procedimento de actualização do respectivo valor no decorrer do processo iterativo.
4.4.1 Normalização do trabalho do carregamento variável
Considere-se a seguinte condição que permite escalar todos os mecanismos plásticos
de modo a que o trabalho efectuado pelo carregamento variável seja unitário,
Wλ( ˙u) = 1 (4.57)
Adicionalmente, e como corolário do Teorema Cinemático, um majorante para pahyphen.alt
râmetro de carga de colapso, λc, pode ser estabelecido para qualquer mecanismo
cinematicamente admissível através da seguinte expressão:
λ = WD −
tildewiderW
Wλ ≥ λc ⇒ λWλ +
tildewiderW = WD (4.58)
Em consequência, introduzindo (4.57) em (4.58), a definição da expressão de um
majorante da carga de colapso resume-se a,
λ = WD −tildewiderW (4.59)
Esta conclusão permite obviar a estratégia de determinação da carga de colapso
anteriormente delineada através da resolução de um único problema de programação
60 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
matemática, expresso do seguinte modo:
Min λ( ˙u, ˙ε) = WD(˙ε)−tildewiderW( ˙u) (4.60a)
sujeito a: Wλ( ˙u) = 1 (4.60b)
˙ε = B ˙u (4.60c)
˙ε∈Cc (4.60d)
˙u = 0 em Γu (4.60e)
Analogamente ao procedimento adoptado para o problema (4.3), a condição de comhyphen.alt
patibilidade (4.60c) é introduzida ponderadamente na função objectivo (4.60a) com
o auxílio dos multiplicadores de Lagrange, sendo reforçada através de um termo
de penalização quadrática. Adicionalmente, é também introduzida a condição de
normalização (4.60b) na função objectivo, recorrendo de igual modo ao método dos
multiplicadores de Lagrange, sem acrescentar, no entanto, o termo suplementar de
penalização. Deste modo, o problema resultante da aplicação do método do Lagranhyphen.alt
geano Aumentado pode ser escrito do seguinte modo:
Min L( ˙u, ˙ε,µ,µλ) =
integraldisplay
Ω
D(˙ε)dΩ−tildewiderW( ˙u) + µλ(1−Wλ)
+
integraldisplay
Ω
µT (B ˙u− ˙ε)dΩ + r2
integraldisplay
Ω
|B ˙u− ˙ε|2 dΩ
sujeito a: ˙ε∈Cc
(4.61)
onde µλ é o multiplicador de Lagrange associado à condição de normalização (4.60b).
Substituindo na função Lagrangeana as aproximações adoptadas para os campos
cinemáticos (4.6) e (4.7) obtém-se,
4.4. FORMULAÇÃO PROPOSTA 61
L(d,e,µ,µλ) =
nEsummationdisplay
i=1
integraldisplay
Ωi
D(ei)dΩ−
nEsummationdisplay
i=1
parenleftbiggintegraldisplay
Ωi
˜bT Ni dΩ +
integraldisplay
Γσi
˜tT Ni dΓ
parenrightbigg
di
+ µλ −µλ
nEsummationdisplay
i=1
parenleftbiggintegraldisplay
Ωi
bTλ Ni dΩ +
integraldisplay
Γσi
tTλ Ni dΓ
parenrightbigg
di
+
nEsummationdisplay
i=1
integraldisplay
Ωi
µTi (BNi)dΩdi −
nEsummationdisplay
i=1
integraldisplay
Ωi
µTi ei dΩ
+ r2
nEsummationdisplay
i=1
dTi
integraldisplay
Ωi
(BNi)T(BNi)dΩdi
−r
nEsummationdisplay
i=1
dTi
integraldisplay
Ωi
(BNi)Tei dΩ + r2
nEsummationdisplay
i=1
integraldisplay
Ωi
eTi ei dΩ
(4.62)
É de sublinhar as semelhanças entre a expressão anterior (4.62) e a função Lagrangehyphen.alt
ana da formulação inicial (4.10), diferindo apenas nos termos da 2a linha associados
ao carregamento exterior. Este facto permite manter inalterados praticamente todos
os procedimentos seguidos no algoritmo de Uzawa. A excepção é feita apenas para
a execução da minimização global (FASE 1), onde a condição de estacionaridade do
funcional Lagrangeano em relação à variável primal, d, é agora simultaneamente imhyphen.alt
posta também em relação à variável dual, µλ. Assim, a condição (4.12) é substituida
por: 




∂L(d,e,µ,µλ)
∂d = 0
∂L(d,e,µ,µλ)
∂µλ = 0
(4.63)
originando o seguinte sistema de equações lineares,
braceleftBigg
rAdk,m −Fµk,mλ = ˜F −Λk +Lk,m−1
FTdk,m = 1 (4.64)
no qual se mantêm válidas todas as definições estabelecidas em (4.14). Recorrendo
a manipulações algébricas, a variável dual µλ pode ser eliminada do sistema de
equações (4.64), já que a determinação explícita do seu valor não é relevante para o
62 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
problema, conduzindo a:
dk,m = 1rA−1
parenleftBig˜
F −Λk +Lk,m−1 +Fµk,mλ
parenrightBig
(4.65)
Substituindo (4.65) na equação da 2a linha do sistema de equações (4.64) o valor,
µλ, pode ser expresso do seguinte modo,
µk,mλ = r−F
TDk,m
β (4.66)
onde,
H = A−1F (4.67a)
β = FTH (4.67b)
Dk,m = A−1
parenleftBig˜
F −Λk +Lk,m−1
parenrightBig
(4.67c)
Introduzindo por último (4.66) em (4.65), consegue-se eliminar, µλ, podendo as
velocidades nodais ser calculadas a partir da expressão,
dk,m = 1r
parenleftbigg
Dk,m + r−F
TDk,m
β H
parenrightbigg
(4.68)
Para concluir, é interessante observar que as alterações introduzidas devido à normahyphen.alt
lização do trabalho do carregamento variável não produzem quaisquer modificações
na matriz, A, a única que é necessário factorizar para a obtenção da solução da
minimização global.
4.4.2 Formulação forte e elementos quadráticos
Neste instante, retoma-se o problema de optimização formulado em (4.60) e o prohyphen.alt
blema correspondente (4.61), gerado através da aplicação do método do Lagrangeano
Aumentado.
Como se pode constatar, a restrição de compatibilidade (4.60c) é introduzida no
funcional Lagrangeano (4.61) de uma forma fraca (ou ponderada). Efectivamente,
a condição estabelecida é a obrigação do resíduo da diferença entre o campo de
4.4. FORMULAÇÃO PROPOSTA 63
deformações local e global em cada elemento ser mínimo. Note-se porém que esta
medida não condiciona a obtenção de majorantes estritos da carga de colapso devido
à relação adoptada para o grau das funções de aproximação: linear para o campo
das velocidades e constante para as taxas de deformação.
Propõe-se agora que a compatibilidade passe a ser introduzida no Lagrangeano, na
sua forma local e recorrendo a um conjunto de pontos pré-determinados. O número
de pontos, nP, a adoptar deve ser o estritamente necessário por forma a garantir
a compatibilidade em todo o domínio, ou seja, o número de coeficientes da função
polinomial utilizada para interpolar o campo das taxas de deformação. Este número
encontra-se resumido na Tabela 4.1 para os casos considerados neste trabalho.
Tabela 4.1: Número de pontos para a imposição da condição de compatibilidade
Dimensão Polinómio nP
2D a0 1a
0 + a1x + b1y 3
3D a0 1a
0 + a1x + b1y + c1z 4
Seguindo esta descrição, a formulação discreta do Lagrangeano Aumentado do prohyphen.alt
blema (4.60) resulta do seguinte modo:
Min L(d,e,µ,µλ) =
nEsummationdisplay
i=1
integraldisplay
Ωi
D(ei)dΩ
−
nEsummationdisplay
i=1
parenleftbiggintegraldisplay
Ωi
˜bT Ni dΩ +
integraldisplay
Γσi
˜tT Ni dΓ
parenrightbigg
di
+ µλ −µλ
nEsummationdisplay
i=1
parenleftbiggintegraldisplay
Ωi
bTλ Ni dΩ +
integraldisplay
Γσi
tTλ Ni dΓ
parenrightbigg
di
+
nEsummationdisplay
i=1
nPsummationdisplay
j=1
∆i
nP µ
T
ij
parenleftBig
(BNi)jdi −Eijei
parenrightBig
+ r2
nEsummationdisplay
i=1
nPsummationdisplay
j=1
∆i
nP
parenleftBig
(BNi)jdi −Eijei
parenrightBigTparenleftBig
(BNi)jdi −Eijei
parenrightBig
sujeito a: ˙ε∈Cc
(4.69)
64 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
onde, em referência ao i-ésimo elemento, ∆i denota a área{volume} do elemento
2D{3D} e a matriz, Ei, agrupa as funções de aproximação nodais das taxas de dehyphen.alt
formação, sendo as respectivas variáveis armazenadas no vector, ei. Efectivamente,
admite-se, a partir deste momento, que a aproximação do campo da taxa de deforhyphen.alt
mação seja expressa da forma,
˙εi(x,y,z) = {˙εx, ˙εy, ˙εz,2˙εxy,2˙εyz,2˙εxz}Ti = Ei(x,y,z)ei em Ωi (4.70)
Ainda na definição (4.69), caso o índice j afecte uma grandeza que seja função de
coordenadas espaciais, esta deve ser avaliada para as coordenadas do ponto j.
A inclusão do coeficiente ∆in
P
prende-se com o facto de testes numéricos revelarem,
para malhas com discrepâncias significativas na dimensão entre diferentes elementos,
uma convergência anormalmente lenta. Este comportamento indesejável é eliminado
através da introdução destes factores de ponderação. O recurso a esta estratégia
poderá ser interpretado como a utilização do método da Colocação Pontual [137].
Refere-se igualmente que a utilização destes pesos permite ainda que o sistema gohyphen.alt
vernativo da minimização global coincida com aquele que seria obtido com a anterior
formulação fraca, no caso de elementos finitos lineares ou quadráticos, através de
uma escolha apropriada dos pontos onde é imposta a compatibilidade - os pontos
de integração de Gauss.
4.4.2.1 Funções de aproximação
A escolha das funções de aproximação desempenha um papel fulcral para garantir
a obtenção de majorantes estritos da carga de colapso. Este último objectivo é
cumprido desde que se garanta a obtenção de um campo cinemático perfeitamente
compatível.
Esta é a principal razão pela qual se recorre a funções nodais (compatíveis) para
interpolar o campo das velocidades. Adicionalmente e por forma a permitir a comhyphen.alt
patibilidade entre o campo das velocidades e a aproximação local do campo da taxa
das deformações, é necessário que as funções utilizadas para esta última aproxihyphen.alt
mação sejam pelo menos de um grau inferior ao das funções de interpolação das
velocidades. Sublinha-se que a afirmação antecedente só é válida se as funções de
aproximação consistirem em funções polinomiais no referencial do operador diferenhyphen.alt
4.4. FORMULAÇÃO PROPOSTA 65
cial de compatibilidade; por outras palavras, não poderá haver uma distorção entre
o espaço das coordenadas locais do elemento e o das coordenadas globais. Deste
modo, as funções nodais de forma devem conter apenas nós localizados nos vértices
dos elementos, recorrendo-se, caso seja necessário, a elementos subparamétricos, i.e,
a elementos cujas funções de aproximação das velocidades são de grau superior às
utilizadas para modelar a geometria do elemento.
Na realidade, as restrições anteriores não introduzem nenhuma limitação significahyphen.alt
tiva quanto ao grau das funções, porém, é ainda necessário garantir que o campo
local da taxa das deformações cumpre a regra de normalidade em todos os pontos
do domínio do elemento. Esta condição é traduzida pela única restrição explícita do
problema (4.61). Devido às característica do espaço, Cc, torna-se demasiado comhyphen.alt
plexo cumprir esta restrição para uma aproximação da taxa das deformações de um
grau arbitrário. Contudo, constata-se que para uma aproximação de grau linear
(ou inferior), se o valor da taxa das deformações nos vértices do elemento satisfizer
a condição de normalidade, esta é automaticamente satisfeita para qualquer outro
ponto no domínio de elemento. Para tal, basta relembrar que o espaço, Cc, é convexo
e, consequentemente, qualquer combinação linear de pontos pertencentes ao espaço,
com pesos no intervalo [0,1], está também necessariamente contida nesse mesmo
espaço.
Com base nas razões apresentadas, é apresentado na Tabela 4.2 o tipo de elementos
e respectivas aproximações que podem ser utilizados sem comprometer o objectivo
pretendido de obtenção de majorantes estritos.
4.4.2.2 Minimização Global
Avaliando as repercussões das medidas introduzidas nesta secção no sistema goverhyphen.alt
nativo da minimização global, verifica-se que a definição (4.64) permanece válida,
bem como todo o processo descrito para isolar o vector das variáveis primais, d. Na
realidade, apenas as definições da matriz A e dos vectores Λ e L sofrem alterações:
66 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
Tabela 4.2: Resumo das características dos elementos finitos
Elementos Forma Aproximação Aproximação˙u ˙ε
Lineares
(isoparamétricos)
3 nós 3 nós constante
4 nós 4 nós constante
Quadráticos
(subparamétricos)
3 nós 6 nós 3 nós
4 nós 10 nós 4 nós
A =
nEsummationdisplay
i=1
nPsummationdisplay
j=1
∆i
nP (BNi)
T
j (BNi)j (4.71a)
Λk =
nEsummationdisplay
i=1
nPsummationdisplay
j=1
∆i
nP (BNi)
T
j (µij)
k (4.71b)
Lk,m−1 = r
nEsummationdisplay
i=1
nPsummationdisplay
j=1
∆i
nP (BNi)
T
j (eij)
k,m−1 dΩ (4.71c)
onde o vector das variáveis nodais locais, eij, representa o valor das componentes
da taxa de deformação no nó j do i-ésimo elemento finito, sendo por definição
equivalente a escrever,
eij = Eijei (4.72)
4.4. FORMULAÇÃO PROPOSTA 67
4.4.2.3 Minimização Local
É na fase da minimização local que se encontra a justificação para as alterações
descritas nesta secção quanto ao modo de introduzir a condição de compatibilidade
no funcional Lagrangeano. As observações aqui efectuadas apenas contemplam os
elementos quadráticos, já que no caso dos elementos lineares as duas formulações
são perfeitamente coincidentes.
O problema de minimização local obtido de (4.69) pode agora ser expresso do sehyphen.alt
guinte modo:
Min L∗i(ei) =
integraldisplay
Ωi
D(ei)dΩ−
nPsummationdisplay
j=1
∆i
nP
parenleftBig
µij + r(BNi)j
parenrightBigT
eij
+ r2
nPsummationdisplay
j=1
∆i
nP e
T
ijeij
sujeito a: eij ∈Cc , j = 1,··· ,nP
(4.73)
Ignorando, de momento, o termo da dissipação plástica, constata-se que as variáhyphen.alt
veis de decisão entre os diferentes nós estão perfeitamente desacopladas. Tal não se
observaria caso se optasse por introduzir ponderadamente as condições de compatihyphen.alt
bilidade.
Desenvolve-se agora o termo da dissipação através de uma integração numérica de
Gauss: integraldisplay
Ωi
D(ei)dΩ =
nGsummationdisplay
k=1
∆i
nGD(Eikei) (4.74)
onde nG representa o número de pontos de Gauss utilizado, que deverá coincidir
com nP. Uma vez mais, a notação Eik significa que a matriz deve ser avaliada
para as coordenadas do k-ésimo ponto de Gauss. Esta expressão só é exacta para
os materiais friccionais (Mohr-Coulomb e Drucker-Prager). No entanto, sublinha-se
que, para o caso dos materiais coesivos, a expressão representa um majorante da
dissipação, continuando-se assim a garantir a obtenção de um majorante estrito para
a carga de colapso. Esta expressão assegura ainda o desacoplamento das variáveis
nodais.
Deste modo, a minimização local resulta num conjunto de nP processos independenhyphen.alt
68 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
tes associados a cada ponto de Gauss, os quais são tratado através de uma estratégia
exactamente igual à delineada para os elementos lineares.
4.4.3 Descontinuidades no campo de velocidades
Conforme referido anteriormente, no quadro teórico da Teoria da Análise Limite o
campo das velocidades associado a mecanismos de colapso não é necessariamente
um campo contínuo. Deste modo, foram estudadas estratégias visando a introdução
no modelo proposto de descontinuidades no campo das velocidades.
4.4.3.1 Elementos degenerados
Na primeira das duas estratégias consideradas neste trabalho, as descontinuidades
resultam da introdução, na malha de elementos finitos, de um conjunto de elementos
degenerados de espessura nula nas interfaces dos elementos contínuos, seguindo uma
proposta apresentada por Krabbenhøft et al. [69]. Estes elementos degenerados são
obtidos colapsando as coordenadas de dois nós do mesmo elemento. Ilustra-se, na
Figura 4.6(a), a interface de dois elementos 2D formada por elementos degenerados.
Por sua vez, a Figura 4.6(b) representa o conjunto de 3 tetraedros degenerados, conshyphen.alt
tituídos respectivamente pelos nós: 1-2-3-4, 2-4-5-6 e 2-3-4-6. Estes são utilizados
para introduzir descontinuidades 3D.
δ → 0
δ → 0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
(a) (b)
Figura 4.6: Elementos degenerados
No trabalho de Krabbenhøft et al. [69] é demonstrado que a utilização destes elemenhyphen.alt
tos degenerados como se de elementos regulares se tratassem, permite obter campos
4.4. FORMULAÇÃO PROPOSTA 69
de velocidades descontínuos e cinematicamente admissíveis. Estas descontinuidades
no campo das velocidades, acaso ocorram, localizam-se naturalmente na interface
dos elementos regulares.
A mesma equipa de autores, num trabalho ainda sem divulgação pública, estende
a aplicação desta abordagem feita com elementos de campos de velocidade linear a
elementos de campos quadráticos, propondo uma condensação dos graus de liberdade
associados aos nós intermédios. Contudo, esta possibilidade não foi explorada no
presente trabalho, tendo-se apenas feito a implementação para elementos lineares.
Como é previsível, a utilização de elementos degenerados introduz problemas numé-
ricos na formulação, sendo necessário recorrer a alguns artifícios para os contornar,
os quais são descritos em seguida. Como ponto de partida, definem-se as seguintes
funções de aproximação artificiais:
Ni =∆iNi (4.75a)
Ei =∆iEi (4.75b)
Introduzindo (4.75) nas definições (4.71) e (4.72), a contribuição destes elementos
degenerados para os termos do sistema governativo da minimização global pode ser
expresso da seguinte forma:
Ad =
ndsummationdisplay
i=1
nPsummationdisplay
j=1
1
nP∆i(BNi)
T
j (BNi)j (4.76a)
Λkd =
ndsummationdisplay
i=1
nPsummationdisplay
j=1
1
nP (BNi)
T
j (µij)
k (4.76b)
Lk,m−1d =
ndsummationdisplay
i=1
nPsummationdisplay
j=1
r
nP∆i(BNi)
T
j Eij(ei)
k,m−1 dΩ (4.76c)
onde nd representa o número de elementos degenerados.
70 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
Por sua vez, o problema de minimização local para estes elementos é dado por:
Min L∗i(ei) =
nGsummationdisplay
k=1
D(Eikei)
nG −
nPsummationdisplay
j=1
1
nP
parenleftBig
µij + r∆
i
(BNi)j
parenrightBigT
Eijei
+
nPsummationdisplay
j=1
r
2nP∆ie
T
i E
T
ijEijei
sujeito a: eij ∈Cc , j = 1,··· ,nP
(4.77)
Da análise das definições (4.76) e (4.77), é possível constatar que o problema nuhyphen.alt
mérico originado pela degeneração dos elementos ainda persiste, já que o termo,
1
∆i, não foi completamente eliminado das expressões. Esta característica é um prohyphen.alt
blema intrínseco à presente formulação, não se observando na maioria das demais
formulações de limite superior, como por exemplo aquela para a qual este método
de elementos degenerados foi originalmente desenvolvido.
A origem desta particularidade deve-se ao termo quadrático de penalidade introduhyphen.alt
zido pelo método do Lagrangeano Aumentado, mas pode ser facilmente contornada
desde que seja adoptado o seguinte coeficiente de penalidade, r, diferenciado para
os elementos degenerados:
ri = r∆i (4.78)
Aparentemente, a inexistência do coeficiente de penalidade na definição (4.76a) inhyphen.alt
viabilizaria a eliminação pretendiada da parcela 1∆
i
. Todavia, uma análise atenta
ao sistema de equações (4.64) revela que o coeficiente r está também associado à
matriz, A, tendo sido posto em evidência. Atendendo a este facto e para que a
definição do sistema global (4.64) permaneça válida, não restam dúvidas que é nehyphen.alt
cessário modificar a expressão de Ad em (4.76a), multiplicando cada contribuição
elementar por ∆i. Assim, conforme pretendido, obtém-se:
Ad =
ndsummationdisplay
i=1
nPsummationdisplay
j=1
1
nP (BNi)
T
j (BNi)j (4.79)
A estratégia exposta apresenta como principal atractivo para a sua utilização a
grande facilidade de implementação, não sendo necessário efectuar praticamente
nenhuma alteração ao código do modelo contínuo. Contudo, verificou-se que, em
4.4. FORMULAÇÃO PROPOSTA 71
situações particulares, esta estratégia sobrestima o valor da dissipação plástica, no
caso de materiais puramente coesivos. Este fenómeno, que não foi não constatado
em [69], ocorre sempre que há uma mudança do sentido na descontinuidade do
campo das velocidades. Em consequência, a qualidade da estimativa da carga de
colapso obtida pode ser afectada. Seguidamente, é realizada a demonstração do
facto mencionado para o caso 2D, podendo seguir-se um raciocínio análogo para
chegar à mesma conclusão para o caso 3D.
δ → 0
1 2
3 4
t
n
ρˆv
ˆv
L
(a) (b)
A B
Figura 4.7: Modelação de uma descontinuidade linear com elementos degenerados
Considere-se uma interface genérica, modelada através dos dois elementos degenehyphen.alt
rados representados na Figura 4.7(a). Para os mesmos determine-se a taxa das
deformações por unidade de área, através da expressão:
˙ε = BNidi (4.80)
obtendo-se,



˙εt
˙εn
˙γtn



A
= L2



0
d3n −d1n
d3t −d1t


 ,



˙εt
˙εn
˙γtn



B
= L2



0
d4n −d2n
d4t −d2t


 (4.81a-b)
Atendendo à condição de normalidade para os materiais puramente coesivos resulta,
tr(˙ε) = 0 ⇒ d1n = d3n ∧d2n = d4n , (4.82)
o que significa que não pode haver uma descontinuidade da velocidade na direcção
normal à superfície. Esta conclusão é perfeitamente consentânea com a regra da
normalidade (2.30). Por fim, com base na expressão (2.13), é calculada a dissipação
72 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
plástica total na interface em questão:
WD = c(|˙γtn A|+|˙γtn B|) = cL2(|d3t −d1t|+|d4t −d2t|) (4.83)
Considere-se, agora, a descontinuidade no campo de velocidade esquematizada na
Figura 4.7(b), com ρ ∈ [−1,1]. Através da expressão (2.31), a dissipação plástica
total é dada por:
WD =



cL
2 |ˆv|(ρ + 1) , ρ ≥ 0cL
2 |ˆv|
ρ2 + 1
1−ρ , ρ < 0
(4.84)
Utilizando a expressão (4.83) para calcular a mesma dissipação, obtém-se o seguinte
valor,
WD = cL2 |ˆv|(|ρ|+ 1) (4.85)
Em conclusão, a expressão (4.83) sobrestima a dissipação plástica quando ρ < 0,
podendo-se mesmo chegar a obter uma dissipação duas vezes superior à real (para
ρ = −1).
4.4.3.2 Formulação Híbrida/Mista
A segunda estratégia considerada baseia-se na introduzir na formulação de uma terhyphen.alt
ceira aproximação, na fronteira dos elementos. Assim, de acordo com a nomenclatura
adoptada por Pian [104], a formulação resultante é designada simultaneamente de
Híbrida, por aproximar campos tanto no domínio como na fronteira, e de Mista,
por considerar duas aproximações independentes de campos distintos no domínio.
O campo aproximado na fronteira dos elementos é o das velocidades relativas, sendo
a respectiva aproximação definida do seguinte modo:
ˆvi(x,y,z) = {ˆvx,ˆvy,ˆvz}Ti = UΓi(x,y,z)qΓi em Γdi (4.86)
Na expressão (4.86), em referência à i-ésima fronteira inter-elementar representada
por Γdi, onde se consideram descontinuidades, a matriz UΓi agrupa as funções de
aproximação, que podem ser constantes ou lineares. O vector qΓi contém os pesos
das respectivas funções de aproximação, cujo valor representa a velocidade relativa
nodal.
4.4. FORMULAÇÃO PROPOSTA 73
À semelhança da primeira estratégia, nas fronteiras inter-elementares com desconhyphen.alt
tinuidades os nós não são partilhados pelos elementos, havendo uma redundância
de nós com as mesmas coordenadas (Figura 4.8). Por sua vez, a compatibilização
do campo das velocidades entre dois elementos estabelece-se através do campo das
velocidades relativas, definido do seguinte modo:
ˆv = ˙u+© − ˙u−© em Γd (4.87)
onde +© e −© representam as duas regiões delimitadas pela fronteira Γd, podendo a
sua ordem ser escolhida de forma perfeitamente arbitrária.
i
k
p
r
+©
−©
q
Γd
j
t
n y
x
δ = 0
Figura 4.8: Fronteira com descontinuidade entre dois elementos adjacentes
De seguida, introduz-se na definição anterior as aproximações do campo das velocihyphen.alt
dades para o domínio dos elementos (4.6) e das velocidades relativas (4.86) para a
fronteira, obtendo-se,
UΓiqΓi = N+©i d+©i −N−©i d−©i em Γdi (4.88)
Seguindo a mesma metodologia estipulada para a parcela contínua das velocidades,
a condição de compatibilidade (4.88) é introduzida na formulação através do método
do Lagrangeano Aumentado. Por forma a simplificar a notação e tornar mais clara
a exposição dos elementos de descontinuidades, doravante e até ao final da presente
secção, todas as expressões apresentadas consideram a contribuição de uma única
interface, deixando-se cair o indice i. Assim, a contribuição da descontinuidade para
74 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
o funcional Lagrangeano é dada por:
Ld(d,qΓ,µΓ) =
integraldisplay
Γd
D(qΓ)dΓ +
nPsummationdisplay
j=1
∆
nP µ
T
Γj
parenleftBig
d+©j −d−©j −UΓjqΓ
parenrightBig
+ r2
nPsummationdisplay
j=1
∆
nP
parenleftBig
d+©j −d−©j −UΓjqΓ
parenrightBigTparenleftBig
d+©j −d−©j −UΓjqΓ
parenrightBig (4.89)
onde nP é o número de nós em cada da fronteira e ∆ denota o comprimento{área}
da fronteira 2D{3D}. Os vectores d+©j e d−©j representam as velocidades nodais do nó
j dos elementos de cada um dos lados da fronteira, e µΓj os multiplicadores de Lahyphen.alt
grange associados à condição de compatibilidade das descontinuidades. Seguindo a
notação anteriormente estipulada, UΓj, denota a matriz das funções de aproximação
das velocidades relativas, avaliadas para as coordenadas do ponto j.
Impondo agora a condição de estacionaridade do funcional (4.89) em relação às
variáveis primais, d, obtém-se para cada ponto da interface,
rAd
braceleftBigg
d−©j
d+©j
bracerightBigg
= −Λdj +Ldj (4.90)
onde,
Ad = ∆n
P
bracketleftBigg
I −I
−I I
bracketrightBigg
(4.91a)
Λdj = ∆n
P
braceleftBigg
−µΓj
µΓj
bracerightBigg
(4.91b)
Ldj = r ∆n
P
braceleftBigg
−UΓjqΓ
UΓjqΓ
bracerightBigg
(4.91c)
e em que a matriz identidade, I, tem a dimensão 2×2{3×3} para problemas 2D{3D}.
O resultado anterior permite concluir qual a contribuição da parcela das descontinuihyphen.alt
dades para o sistema governativo da minimização global (4.64). Com efeito, basta
somar a contribuição das matrizes e vectores elementares nodais das descontinuidahyphen.alt
des (4.91) aos termos correspondente do sistema (4.64). Este procedimento não é
mais do que a usual operação de espalhamento executada no MEF.
4.4. FORMULAÇÃO PROPOSTA 75
A minimização em relação às variáveis nodais das velocidades relativas, qΓ, é enhyphen.alt
globada na fase de minimização local, sendo este procedimento em tudo análogo
ao descrito para as variáveis da taxa das deformações locais, e. Com base no Lahyphen.alt
grangeano (4.89), o problema de minimização local associado a uma interface com
descontinuidade pode ser escrito do seguinte modo:
Min L∗d(qΓ) =
integraldisplay
Γd
D(qΓ)dΓ−
nPsummationdisplay
j=1
∆
nP
parenleftBig
µΓj + r(d+©j −d−©j )
parenrightBigT
UΓjqΓ
+ r2
nPsummationdisplay
j=1
∆
nP q
T
ΓU
T
ΓjUΓjqΓ
sujeito a: qΓj ∈Cd , j = 1,··· ,nI
(4.92)
Nesta expressão, nI representa o número de nós associados às funções de aproximahyphen.alt
ção do campo das velocidades relativas, devendo ser inferior a nP para garantir a
obtenção de um campo cinemático compatível. Na Tabela 4.3 encontram-se resumihyphen.alt
das todas as relação de nP/nI consideradas.
Tabela 4.3: Pontos para a imposição da condição de compatibilidade na fronteira
Aproximação
˙u
nP = 2 nP = 3 nP = 3 nP = 6
Aproximação
ˆv nI = 1 nI = 1
nI = 2 nI = 3
Introduz-se agora a definição da matriz de transformação, T. Esta matriz permite
efectuar a rotação do sistema de coordenadas global para um sistema dito local,
cujos versores das coordenadas estão orientados na direcção normal e tangencial à
superfície inter-elementar. Convenciona-se que o versor da direcção normal é exterior
76 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
ao elemento −© , conforme ilustrado na Figura 4.8. Esta transformação permite que
o problema (4.92) seja, por conveniência, reescrito na forma:
Min L∗d(˜qΓ) =
integraldisplay
Γd
D(˜qΓ)dΓ−
nPsummationdisplay
j=1
∆
nP ˜s
T
j UΓj˜qΓ +
r
2
nPsummationdisplay
j=1
∆
nP ˜q
T
ΓU
T
ΓjUΓj˜qΓ
sujeito a: ˜qΓj ∈Cd , j = 1,··· ,nI
(4.93)
em que,
˜qΓj = TqΓ , ˜sj = T
parenleftBig
µΓj + r(d+©j −d−©j )
parenrightBig
(4.94)
As estratégia numéricas para a minimização deste problema local são apresentahyphen.alt
das em detalhe no Capítulo 5. Interessa, contudo, referir que, para casos onde
nI < nP ∧nI negationslash= 1, não é possível desacoplar as variáveis associadas aos diferentes
nós. Este facto dá origem a um aumento da complexidade da minimização a resolhyphen.alt
ver.
4.4.4 Modificações do algoritmo de Uzawa
O algoritmo iterativo de Uzawa apresenta importantes atractivos para a sua utihyphen.alt
lização. Efectivamente, este algoritmo revela um comportamento muito robusto,
revelando ser capaz de convergir em todos os problemas resultantes da presente
formulação. Adicionalmente, é um método que, do ponto de vista da sua implehyphen.alt
mentação numérica, não requere grandes recursos computacionais, nomeadamente
de memória. Outra característica bastante importante, explorada no decorrer deste
trabalho, é a adequabilidade que o algoritmo revela para a sua implementação em
processamento paralelo.
No entanto, a sua velocidade de convergência pode apresentar por vezes um comhyphen.alt
portamento algo lento. Este é um assunto que continua a atrair a atenção dos
matemáticos, encontrando-se recentemente na literatura propostas que pretendem
colmatar esta deficiência com excelentes resultados [19],[76]. Infelizmente, devido
às especificidades decorrentes da actual formulação, nomeadamente da introdução
do ciclo de relaxação na algoritmo de Uzawa, todas as tentativas de transpor as
4.4. FORMULAÇÃO PROPOSTA 77
referidas propostas para o presente caso revelaram-se infrutíferas.
Contudo, foi possível introduzir outras modificações alternativas na variante inicial
do algoritmo de Uzawa (Figura 4.3) de modo a melhorar o desempenho da sua
convergência.
Observa-se que o parâmetro de penalidade, r, assume um papel fundamental no
desempenho do algoritmo de Uzawa [13]. O seu valor inicial não deve ser demasiado
elevado ou crescer demasiadamente rápido. A acontecer, isto poderá resultar num
mau condicionamento do problema, correndo-se o risco de obter um majorante da
carga de colapso maior do que aquele que o método é capaz de produzir para a
malha utilizada. Por outro lado, a escolha de um valor inicial inadequadamente
baixo ou o facto do seu crescimento durante o processo iterativo ser muito lento pode
fazer aumentar significativamente o número de iterações necessárias para atingir a
convergência. Estes factos são igualmente relatados e discutidos em [13].
Deste modo, foi introduzido no algoritmo um procedimento de actualização do pahyphen.alt
râmetro de penalização. Para maior eficácia esta actualização é combinada com
uma estratégia de escolha do valor inicial para o referido parâmetro. O valor inicial
óptimo do parâmetro de penalidade é dependente do problema. A prática revela
que a aplicação da seguinte expressão para determinar o valor inicial do parâmetro,
r, produz bons resultados,
r = max
braceleftBig
FTA−1F,FTA−1 ˜F
bracerightBig
(4.95)
Para actualizar o parâmetro de penalidade no decorrer do processo iterativo sugerehyphen.alt
-se o seguinte procedimento:
i. determina-se a média, µλ, e o desvio padrão, σµλ, do multiplicador de Lagrange
µλ, durante as últimas n iterações do algoritmo de Uzawa (usualmente n=10),
µλ =1n
n−1summationdisplay
i=0
µk−iλ (4.96a)
σµλ =
radicaltpradicalvertex
radicalvertexradicalbt1
n
n−1summationdisplay
i=0
parenleftbigµk−i
λ −µλ
parenrightbig2 (4.96b)
78 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
ii. caso se observe uma estabilização dos valores dos coeficientes acima mencionahyphen.alt
dos, avaliada através do quociente, σµλµ
λ
, processa-se um incremento do parâmehyphen.alt
tro de penalidade, σ
µλ
µλ < δ ⇒ rn+1 = ηrn (4.97)
adoptando-se por defeito os valores 10−4 e 2 para os coeficientes δ e η, respectihyphen.alt
vamente.
Das experiências numéricas verifica-se igualmente que utilização do ciclo de relaxahyphen.alt
ção, m > 1, não contribui, na maioria dos casos, para a melhoria significativa do
desempenho do algoritmo. Assim, optou-se por eliminar o processo de relaxação
cíclico, passando a efectuar-se para cada iteração do algoritmo de Uzawa apenas
uma relaxação, m = 1. Esta opção vem ao encontro de uma proposta de variante
do algoritmo de Uzawa encontrada em [47].
Na Figura 4.9 representa-se a configuração final da variante do algoritmo de Uzawa
que foi adoptada, a qual reflecte as modificações introduzidas nesta secção.
Para finalizar, fazem-se algumas considerações sobre a escolha do critério de paragem
do algoritmo. Com efeito, o critério que, a priori, melhor aferiria a obtenção da
solução óptima, deveria ser baseado numa medida da diferença entre a aproximação
global e a aproximação local da taxa das deformações, e.g.,
ǫrr = (BNd−e)T(BNd−e) (4.98)
Contudo, constata-se que é difícil estabelecer um valor numérico para a tolerância,
TOL, visto que é usual que os mecanismos de colapso apresentem grandes discrehyphen.alt
pâncias nos valores das deformações entre elementos. Para contornar este problema
optou-se por um critério, análogo ao adoptado para a actualização do parâmetro de
penalidade, baseado no desvio padrão da estimativa da carga de colapso das últimas
n iterações,
ǫrr =
radicaltpradicalvertex
radicalvertexradicalbt 1
n λ2
n−1summationdisplay
i=0
parenleftBig
Wk−iD −tildewiderWk−i −λ
parenrightBig2
(4.99)
onde,
λ = 1n
n−1summationdisplay
i=0
parenleftbigWk−i
D −tildewiderW
k−iparenrightbig (4.100)
4.4. FORMULAÇÃO PROPOSTA 79
ǫrr ≤ TOL ? NÃOSIM
Minimização
Minimização
Global:
Local:
SAIR
k = 0
actualizar r
iniciar os valores dos
vectores µ0 e e0
com µk e ek fixos:
Min L(dk)
com µk e dk fixos:
Min L(ek)
µk+1i = µki + r(BNidki −eki )
k = k + 1
Figura 4.9: Variante final do algoritmo de Uzawa
80 CAPÍTULO 4. FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS
Capítulo 5
Implementação numérica
5.1 Introdução
O presente capítulo centra-se nalguns aspectos da implementação numérica do mohyphen.alt
delo proposto. É dado particular enfoque às estratégias de minimização global e
local do algoritmo de Uzawa, cujo peso computacional condiciona decisivamente o
desempenho, no que respeita ao tempo de cálculo.
São, ainda, abordados alguns tópicos adicionais que conferem à implementação nuhyphen.alt
mérica alguns recursos suplementares. O primeiro destes tópicos é a introdução dos
denominados Corpos Rígidos. Estes definem sub-regiões consideradas, para efeitos
de cálculo, como tendo resistência infinita, nunca plastificando e mantendo, por
isso, a sua geometria inalterável. A consideração explícita de elementos com estas
características permite reduzir o número de graus de liberdade a eles associados e
dispensando-os da fase de minimização local.
É ainda discutido o pós-processamento da solução obtida para malhas de elementos
quadráticos. Em determinadas situações opta-se, durante os cálculos, pela sobrehyphen.alt
avaliação das contribuições elementares da dissipação plástica, reduzindo assim os
custos computacionais na fase da minimização local. Desta forma, uma vez atingida
a solução e com base no campo cinemático obtido, é possível, reavaliar o valor da
dissipação plástica que permite a redução do valor da estimativa da carga de colapso.
81
82 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
5.2 Minimização global
A fase de minimização global passa pela resolução de um sistema de equações linehyphen.alt
ares. É conveniente resumir aqui as principais características da matriz do sistema
governativo que determinaram a escolha do algoritmo proposto por Pissanetzky [105]
para a resolução do referido sistema.
Desde já se salienta que o principal factor que levou à escolha de um método de
resolução directo foi o facto da matriz permanecer inalterada durante o decorrer do
processo iterativo. A possibilidade de factorizar a matriz uma única vez, reutilizando
essa factorização cada vez que é necessário uma nova solução para um diferente termo
independente, torna os métodos de resolução directa mais adequados para o presente
problema, em detrimento dos métodos indirectos.
Analisando agora a estrutura da matriz, constata-se que esta tem todas as caractehyphen.alt
rísticas habituais das matrizes oriundas do MEF. É simétrica, esparsa e as entradas
não nulas da matriz correspondem a graus de liberdade de nós ligados por um ou
mais elementos comuns.
Refira-se ainda que o grau de precisão pretendido para as análises efectuadas neste
trabalho implica a utilização de sistemas com um número elevado de graus de liberhyphen.alt
dade. Torna-se, por isso, importante a utilização de uma técnica de armazenamento
da matriz que requeira um espaço de memória reduzido, não desperdiçando recursos
com informação redundante ou inútil. Para tal, deverá ser aproveitada a estrutura
simétrica da matriz e, tanto quanto possível, não se proceder ao armazenamento
de valores nulos. O elevado número de variáveis do problema, tanto globais como
locais, ao qual se soma o armazenamento dos valores dos multiplicadores de Lahyphen.alt
grange, fazem da gestão parcimoniosa da memória uma peça fundamental para o
bom desempenho da implementação do modelo.
É esta gestão, porventura, o ponto forte do algoritmo de Pissanetzky. Efectivamente,
este foi optimizado para resolver sistemas simétricos, recorrendo a uma decomposihyphen.alt
ção de Cholesky. Os sistemas são armazenados numa forma compacta denominada
Sparse Row-Wise Format [105]. Este formato permite armazenar apenas valores
não nulos e é composto por 4 vectores: dois vectores de números reais que armazehyphen.alt
nam, respectivamente, as entradas da diagonal e fora da diagonal; dois vectores de
números inteiros que guardam dados adicionais respeitantes ao vector dos termos
5.3. ESTRATÉGIAS DE MINIMIZAÇÃO LOCAL 83
fora da diagonal, nomeadamente, o índice das colunas e a localização do primeiro
termo de cada linha.
Visto que este algoritmo não incorpora nenhum procedimento de permutação de
linhas/colunas, torna-se essencial a utilização prévia de um algoritmo de reordenação
dos graus de liberdade. Para este efeito, adoptou-se o algoritmo desenvolvido por
Sloan [115].
5.3 Estratégias de minimização local
Por forma a garantir uma boa eficiência numérica do modelo proposto torna-se
essencial preconizar uma estratégia de minimização que obtenha, para cada iteração,
a solução óptima o mais rapidamente possível. Deste modo procura-se, sempre que
possível, evitar a utilização de algoritmos iterativos, recorrendo alternativamente a
expressões analíticas deduzidas para este efeito.
Acrescente-se que os diferentes critérios de cedência apresentam entre eles especificihyphen.alt
dades distintas. Assim, a melhor política não passa por recorrer a um algoritmo que
revele um bom desempenho para a generalidade dos materiais, mas antes procurar
estratégias diferenciadas para os diferentes tipos de materiais, de modo a tirar o
máximo partido das suas características individuais.
Segue-se a apresentação das estratégias de minimização local para os diferentes crihyphen.alt
térios de cedência estudados neste trabalho. São apresentadas, em primeiro lugar,
as estratégias de minimização referentes à parcela contínua do modelo, seguindo-se
a explanação das estratégias adoptadas para a parcela das descontinuidades.
Recorda-se que, na grande maioria dos casos, os problemas de minimização local
(4.73) e (4.92) têm as variáveis associadas aos diferentes nós desacopladas; assim
a apresentação resume-se à minimização das variáveis de um único ponto. Sempre
que esta situação não se verifique, este facto é explicitamente referido no texto e são
discutidas as medidas a adoptar.
84 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
5.3.1 Minimização local para o critério de Tresca
5.3.1.1 Problemas sólidos 3D
Tendo por base a análise da expressão de dissipação (2.13), é possível constatar
que a utilização de uma aproximação linear para o campo da taxa de deformação
não permite o cálculo exacto da dissipação plástica através de integração numérica
de Gauss. Este facto deve-se à impossibilidade de exprimir a função de densidade
de dissipação no domínio do elemento através de funções polinomiais, para esta
situação particular. Contudo, é possível majorar a dissipação num elemento através
da seguinte expressão:
∆
nP
nPsummationdisplay
j=1
D(˜ej) ≥
integraldisplay
Ω
D(e)dΩ (5.1)
Propõe-se a utilização do majorante da dissipação indicado na expressão anterior
para proceder à minimização local, salientando que, no caso de elementos com uma
taxa de deformação constante, esta é exacta. Introduzindo no majorante (5.1) a
definição (2.13) obtém-se,
∆
nP
nPsummationdisplay
j=1
c(|eIj|+|eIIj|+|eIIIj|) ≥
integraldisplay
Ω
D(e)dΩ (5.2)
Atendendo à regra da normalidade em (2.14), uma das componentes principais da
taxa de deformação pode ser expressa em relação às restantes,
eIII = −eI −eII (5.3)
Combinando esta última propriedade com o majorante da dissipação (5.2) e com a
definição do problema de minimização local (4.73) resulta a seguinte função objectivo
nodal:
L∗(eI,eII) =c(|eI|+|eII|+|eI + eII|)+
(sIII −sI)eI + (sIII −sII)eII + rparenleftbige2I + e2II + eIeIIparenrightbig
(5.4)
As componentes da taxa de deformação que minimizam esta função coincidem neceshyphen.alt
sariamente com os valores da solução óptima de (4.73). Tomando em consideração a
5.3. ESTRATÉGIAS DE MINIMIZAÇÃO LOCAL 85
ordenação (4.21) adoptada para as componentes da taxa de deformação, conclui-se
que a solução de (5.4) deverá observar uma das seguintes condições: eI = 0∧eII = 0;
eI > 0∧eII = 0; eI > 0∧eII > 0 ou eI > 0∧eII < 0. Decorrente desta observação é
possível eliminar os módulos na expressão (5.4) para cada uma das regiões definidas
anteriormente, obtendo-se funções quadráticas em R2. Os pontos que minimizam
esta funções são possíveis candidatos para a solução de (5.4):
tildewidee1 ={0, 0, eIII}T (5.5a)
tildewidee2 ={−2c−sI + sIII2r , 0, eIII}T (5.5b)
tildewidee3 ={−2c−2sI + sII + sIII3r , −2c−2sII + sI + sIII3r , eIII}T (5.5c)
tildewidee4 ={−4c−2sI + sII + sIII3r , −−2c−2sII + sI + sIII3r , eIII}T (5.5d)
sendo que o valor de eIII é obtido através da relação (5.3).
Assim, o algoritmo mais básico e contudo eficiente para a determinação da solução
óptima consiste em testar todos os candidatos, introduzindo-os em (5.4), escolhendo,
posteriormente, aquele com o qual se obtém o menor valor para a função objectivo.
5.3.1.2 Problemas de estados planos de deformação
Esta situação pode ser tratada como um caso particular do problema 3D, introduhyphen.alt
zindo a restrição,
eII = 0 (5.6)
Devido a esta imposição, o conjunto das soluções possíveis (5.5a) é reduzido a apenas
duas:
tildewidee1 ={0, 0, 0}T (5.7a)
tildewidee2 ={−2c−sI + sIII2r , 0, 2c−sI + sIII2r }T (5.7b)
À semelhança do procedimento adoptado para o caso 3D, testam-se ambas, escohyphen.alt
lhendo-se a melhor.
86 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
5.3.1.3 Introdução de uma truncatura em tracção
Devido à introdução da truncatura em tracção no critério de Tresca, a função objechyphen.alt
tivo nodal é reescrita do seguinte modo:
L∗(eI,eII,eIII) =
summationdisplay
k=I,II,III
parenleftBig
c|ek|−(sk + c−σT)ek + r2e2k
parenrightBig
(5.8)
sendo a regra da normalidade (2.17) traduzida pela restrição,
eI + eII + eIII ≥ 0 (5.9)
Introduza-se um novo vector, tildewideseq, tal que,
tildewideseq =



s′I
s′II
s′III


 =



sI + c−σT
sII + c−σT
sIII + c−σT


 (5.10)
Facilmente se conclui que, da aplicação da estratégia descrita para o critério de
Tresca sem a truncatura, substituindo as componentes do vector tildewides pelas suas correshyphen.alt
pondentes tildewideseq, resulta a melhor solução para presente o problema sobre a superfície
que delimita o espaço das soluções admissíveis,
eI + eII + eIII = 0 (5.11)
Assim, resta verificar se existe algum ponto no interior do espaço, correspondente à
desigualdade de (5.9), que suplante a solução anterior.
Contrapondo a ordenação (4.21) com a condição (5.9), restringem-se as situações a
considerar: (i) eI,eII,eIII ≥ 0; (ii) eI,eII ≥ 0∧eIII ≤ 0; (iii) eI ≥ 0∧eII,eIII ≤ 0.
Associados a cada uma das 3 situações anteriores são encontrados possíveis candihyphen.alt
datos para a solução:
tildewidee1 =1r{sI −σT,sII −σT,sIII −σT}T (5.12a)
tildewidee2 =1r{sI −σT,sII −σT,sIII −σT + 2c}T (5.12b)
tildewidee3 =1r{sI −σT,sII −σT + 2c,sIII −σT + 2c}T (5.12c)
5.3. ESTRATÉGIAS DE MINIMIZAÇÃO LOCAL 87
Destes candidatos deverão ser rejeitados liminarmente aqueles que não satisfaçam a
condição (5.9). Os restantes são testados, escolhendo-se, eventualmente, aquele que
produza o menor valor para a função objectivo.
5.3.2 Minimização local para o critério de von Mises
5.3.2.1 Problemas sólidos 3D
Todas as considerações efectuadas para o critério anterior conducentes à obtenção da
função objectivo (5.4) são igualmente válidas para o critério de von Mises, havendo
apenas a necessidade de substituir, no primeiro termo de (5.4), a definição da dishyphen.alt
sipação plástica de Tresca pela correspondente de von Mises (2.16). Esta alteração
permite obter a seguinte função objectivo nodal:
L∗(eI,eII) = h1 + h2 (5.13)
em que,
h1(eI,eII) =2k
radicalBig
e2I + e2II + eIeII (5.14a)
h2(eI,eII) =rparenleftbige2I + e2II + eIeIIparenrightbig+ (sIII −sI)eI + (sIII −sII)eII (5.14b)
Em [129] é sugerida a utilização de um método iterativo baseado no algoritmo de
Fletcher-Reeves [100] para determinar o mínimo de (5.13). No presente trabalho,
propõe-se, em alternativa, a utilização de uma solução analítica descoberta posterihyphen.alt
ormente. A obtenção desta solução é agora descrita com algum detalhe.
Analisando separadamente as funções h1 e h2 conclui-se que os respectivos mínimos
ocorrem no ponto da origem (eI = eII = 0) e em,
∇h2 = 0 ⇒



eI = 2sI −sII −sIII3r
eII = 2sII −sI −sIII3r
(5.15)
88 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
Prossegue-se estabelecendo a mudança de coordenadas definidas por,
eI =
√3x
1
3 + x2 (5.16a)
eII =
√3x
1
3 −x2 (5.16b)
Neste novo referencial (x1,x2) as funções h (5.14) são escritas na forma:
h1(x1,x1) =2k
radicalBig
x21 + x22 (5.17a)
h2(x1,x2) =rparenleftbigx21 + x22parenrightbig+
√3
3 (sIII −sI −sII)x1 + (sII −sI)x2 (5.17b)
As isolinhas destas funções, conforme ilustrado na Figura 5.1, são curvas circunferenhyphen.alt
ciais centradas nos seus pontos mínimos. Este facto permite concluir que o mínimo
do funcional (5.13) está localizado no segmento de recta que une os pontos mínimos
(representado a traço ponto). A título de curiosidade refere-se que a zona do gráfico
a sombreado representa a região onde tem forçosamente de estar localizado o mínimo
da função h2, sendo que esta ilação provém da combinação das condições (2.20) e
(4.21) com (5.16).
x1
x2
Min h2
Min h1
x2 ≥ 0∧x2 ≥−
√3
3 x1
1
3√
3
Figura 5.1: Isolinhas no referencial (x1,x2)
Retomando o referencial original, a equação da recta que contém o segmento referido
pode ser escrita na forma:
eII = 2sII −sI −sIII2s
I −sII −sIII
eI (5.18)
5.3. ESTRATÉGIAS DE MINIMIZAÇÃO LOCAL 89
Note-se que a mudança de coordenadas entre os dois sistemas de coordenadas (5.16)
é uma transformação linear, e, por conseguinte, qualquer segmento de recta no
referencial (x1,x2) permanece igualmente recto no referencial original.
Substituindo (5.18) em (5.13) e impondo a condição de estacionaridade,
∂L∗(eI)
∂eI = 0 (5.19)
chega-se à solução do problema,
eI = 2sI −sII −sIII −kq3r (5.20)
em que,
q =
radicalBigg
3 (sIII + sII −2sI)
2
s2I + s2II + s2III −sIsII −sIsIII −sIIsIII (5.21)
Finalmente, os valores de eII e eIII são obtidos através das fórmulas (5.18) e (5.3).
Note-se, todavia, que a expressão (5.20) só é válida se o ponto obtido estiver locahyphen.alt
lizado no segmento de recta que une os pontos mínimos. A maneira mais expedita
de proceder a esta verificação é introduzindo a solução em (5.13), devendo-se obter
um valor negativo para a função objectivo nodal. Caso contrário, o problema tem
uma solução nula,
eI = eII = eIII = 0 (5.22)
5.3.2.2 Problemas de estados planos de deformação
Para problemas de estados planos de deformação, a superfície de cedência do presente
critério é análoga à do critério de Tresca. Assim, o procedimento preconizado para
este último pode ser utilizado, tomando para o valor da coesão c =
√3
2 k.
5.3.2.3 Problemas de estados planos de tensão
Este critério foi ainda implementado para problemas de estados planos de tensão.
Ao adequar a função objectivo nodal 3D (5.13) para o caso particular de um eshyphen.alt
tado plano de tensão, admitindo que a análise se processa no plano das coordenadas
(I,II), constata-se que a expressão da parcela associada à contribuição da dissipahyphen.alt
90 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
ção plástica, h1, se mantém inalterada ocorrendo apenas modificações na parcela
remanescente,
h2(eI,eII) = r2 parenleftbige2I + e2IIparenrightbig−sIeI −sIIeII (5.23)
Observe-se que, neste caso, ao proceder à mudança de coordenadas (5.16),
h2(x1,x2) = r(x
2
1
3 + x
2
2)−
√3
3 (sI + sII)x1 −(sI −sII)x2 (5.24)
as isolinhas de h2 (representadas na Figura 5.1) não apresentam uma configuração
circunferêncial mas sim elíptica, já que os termos quadráticos em (5.24) são afectados
por coeficientes distintos. Este facto inviabiliza a utilização da estratégia de minimihyphen.alt
zação delineada para o caso 3D. Assim, não tendo sido encontrada uma estratégia
alternativa que fornecesse a solução do presente problema de minimização através de
uma forma analítica, opta-se por utilizar a estratégia de resolução iterativa descrita
em [129].
Considera-se relevante registar que para os problemas de estados planos de tensão,
a condição de normalidade do escoamento plástico não impõe, para efeitos práticos,
nenhuma restrição. Efectivamente, a deformação ocorrida na direcção III não tem
influência, de um ponto de vista cinemático, para a análise do problema. Corolário
importante deste facto é a ausência dos problemas numéricos de locking mencionahyphen.alt
dos na secção 4.2.3.2. Note-se, para finalizar, que a componente eIII da taxa de
deformação não é nula. Com efeito, ela é obtida através de (5.3), tal como para o
caso 3D.
5.3.3 Minimização local para o critério de Mohr-Coulomb
Escreva-se a função objectivo nodal do problema de minimização local para o critério
de Mohr-Coulomb, uma função quadrática em R3:
L∗(eI,eII,eII) = ctanφ (eI + eII + eIII)
−sIeI −sIIeII −sIIIeIII + r2 parenleftbige2I + e2II + e2IIIparenrightbig
(5.25)
5.3. ESTRATÉGIAS DE MINIMIZAÇÃO LOCAL 91
Contrariamente aos critérios anteriormente estudados, esta expressão corresponde a
uma avaliação exacta da dissipação plástica.
Impondo a condição,
∇L∗(eI,eII,eIII) = 0 (5.26)
obtém-se o ponto o para o qual a função objectivo atinge o seu valor mínimo.
o =



o1
o2
o3


 =
1
r







sI − ctan(φ)
sII − ctan(φ)
sIII − ctan(φ)







(5.27)
Caso o ponto anterior satisfaça a condição da normalidade (2.23), então este é o
ponto óptimo do problema de minimização local. Contrariamente, a solução óptima
é obtida através da projecção deste ponto sobre a superfície que delimita o espaço
das soluções admissíveis, definida por:
eI + eII + eIII = (|eI|+|eII|+|eIII|)sinφ (5.28)
Efectivamente, constate-se que na função objectivo (5.25) todos coeficientes que
afectam os termos quadráticos são iguais (r/2). Deste modo, as isosuperfícies desta
função formam superfícies esféricas centradas no ponto o. Dado que o espaço das
soluções admissíveis é convexo, o ponto da solução óptima é necessariamente o ponto
localizado na superfície (5.28) mais próximo de o, podendo ser obtido através da
referida projecção.
face de projecção
O
I
II III
Figura 5.2: Face de projecção para o critério de Mohr-Coulomb
A superfície (5.28) define uma pirâmide hexagonal de faces perpendiculares à superhyphen.alt
92 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
fície de cedência; esta encontra-se representada esquematicamente na Figura 2.4(c).
Devido à ordenação (4.21) adoptada para as componentes da taxa de deformação
a projecção sobre a superfície de cedência deverá ocorrer sempre na face (ou reshyphen.alt
pectivas arestas) indicada na Figura 5.2. Esta projecção poderá ainda coincidir no
vértice da pirâmide, localizado na origem do referencial. São 4 os pontos possíveis
que estão associados às situações enunciadas, sendo as suas expressões dadas por:
tildewidee1 = {0, 0, 0}T (5.29a)
tildewidee2 =







−parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbig(2H −sIII −sI)sin(φ)−sI + sIII2r(sin(φ)2 + 1)
0
−(2H −sIII −sI)sin(φ)
2 + 2(sIII −H)sin(φ) + sI −sIII
2r(sin(φ)2 + 1)







(5.29b)
tildewidee3 =







o1 −parenleftbig1−sin(φ)parenrightbig
parenleftbig1−sin(φ)parenrightbigo
1 +
parenleftbig1−sin(φ)parenrightbigo
2 +
parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbigo
3
2parenleftbig1−sin(φ)parenrightbig2 +parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbig2
o2 −parenleftbig1−sin(φ)parenrightbig
parenleftbig1−sin(φ)parenrightbigo
1 +
parenleftbig1−sin(φ)parenrightbigo
2 +
parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbigo
3
2parenleftbig1−sin(φ)parenrightbig2 +parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbig2
o3 −parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbig
parenleftbig1−sin(φ)parenrightbigo
1 +
parenleftbig1−sin(φ)parenrightbigo
2 +
parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbigo
3
2parenleftbig1−sin(φ)parenrightbig2 +parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbig2







(5.29c)
tildewidee4 =







o1 −parenleftbig1−sin(φ)parenrightbig
parenleftbig1−sin(φ)parenrightbigo
1 +
parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbigo
2 +
parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbigo
3parenleftbig
1−sin(φ)parenrightbig2 + 2parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbig2
o2 −parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbig
parenleftbig1−sin(φ)parenrightbigo
1 +
parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbigo
2 +
parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbigo
3parenleftbig
1−sin(φ)parenrightbig2 + 2parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbig2
o3 −parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbig
parenleftbig1−sin(φ)parenrightbigo
1 +
parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbigo
2 +
parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbigo
3parenleftbig
1−sin(φ)parenrightbig2 + 2parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbig2







(5.29d)
Assim, a escolha da solução óptima para o critério de Mohr-Coulomb resume-se aos
seguintes passos:
5.3. ESTRATÉGIAS DE MINIMIZAÇÃO LOCAL 93
i. verificar se o ponto o satisfaz a condição (2.23), estando, nesse caso, a solução
óptima automaticamente encontrada;
ii. não se verificando a situação anterior, entre as hipóteses (5.29a-d) excluir, prihyphen.alt
meiramente, as que não cumpram a condição (2.23), escolhendo-se, em seguida,
aquela para a qual o valor da função (5.25) é menor.
5.3.3.1 Problemas de estados planos de deformação
Uma vez mais, esta situação pode ser tratada como um caso particular do problema
3D, bastando para tal impor,
eII = 0∧sII = 0 (5.30)
Deste modo, o ponto o é dado por,
o =



o1
o2
o3


 =
1
r






sI − ctan(φ)
0
sIII − ctan(φ)






(5.31)
Neste caso, o ponto sobre a superfície (5.28) mais próximo de o só poderá estar
eventualmente localizado sobre o vértice da superfície ou numa das aresta resultantes
da intercepção desta com o plano (I,III). Assim, as hipóteses possíveis ficam
reduzidas apenas às seguintes:
tildewidee1 = {0, 0, 0}T (5.32a)
tildewidee2 =







o1 −parenleftbig1−sin(φ)parenrightbig
parenleftbig1−sin(φ)parenrightbigo
1 +
parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbigo
3parenleftbig
1−sin(φ)parenrightbig2 +parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbig2
0
o3 −parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbig
parenleftbig1−sin(φ)parenrightbigo
1 +
parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbigo
3parenleftbig
1−sin(φ)parenrightbig2 +parenleftbig1 + sin(φ)parenrightbig2







(5.32b)
94 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
A escolha da solução óptima do problema segue o mesmo procedimento bi-etápico
descrito para o caso 3D.
5.3.4 Minimização local para o critério de Drucker-Prager
5.3.4.1 Problemas sólidos 3D
O critério de Drucker-Prager difere em relação ao de Mohr-Coulomb apenas no que
respeita à condição de normalidade. Em resultado da condição (2.26) o espaço das
soluções admissíveis apresenta agora a forma de um cone, esquematizado na Figura
5.3(a), sendo a superfície que o delimita definida pela equação:
eI + eII + eIII =
radicalBigg
2sin2φ
3 + sin2φ
parenleftBig
3(e2I + e2II + e2III)−(eI + eII + eIII)2
parenrightBig
(5.33)
Analogamente ao critério de Mohr-Coulomb, se o ponto o, resultante da expressão
(5.31), satisfizer a condição (2.26) a solução da minimização fica automaticamente
encontrada, não sendo necessário efectuar qualquer operação adicional:
tildewidee = o (5.34)
Mohr-CoulombDrucker-Prager
plano (x1,x2)
(a) (b)
o
o x1
x2
x1 = mx2
eI
=
eII
=
eII
II
II III
Figura 5.3: Espaço das soluções admissíveis
5.3. ESTRATÉGIAS DE MINIMIZAÇÃO LOCAL 95
Caso contrário, considere-se a mudança de coordenadas definida por,
tildewidee = [η|o−ηToη]
braceleftBigg
x1
x2
bracerightBigg
(5.35)
sendo a definição do vector o dada pela expressão (5.27) e,
ηT = 1√3 {1,1,1}
O espaço das coordenadas (x1,x2) define o plano formado pela recta eI = eII = eIII
e pelo ponto com as coordenadas o (ver Figura 5.3).
De seguida, pretende-se definir a recta,
x1 = mx2 (5.36)
que resulta da intercepção da superfície (5.33) com o plano (x1,x2). Para tal, basta
combinar as definições (5.33) e (5.35), obtendo-se o seguinte valor para o declive,
m = ±1r
radicalBigg
2sin2(φ)
3 + sin2(φ)a (5.37)
onde,
a = 2parenleftbigtildewidesTtildewides−sIsII −sIsIII −sIIsIIIparenrightbig (5.38)
Da observação da Figura 5.3(b), facilmente se conclui que a hipótese de declive
negativo (m < 0) deve ser liminarmente excluída.
A projecção do ponto, o, sobre a superfície (5.33) pode ser obtida através o mínimo
local da função (5.25) sobre a recta (5.36),



∂L∗(x1,x2)
∂x2 = 0
x1 = mx2
(5.39)
Do sistema de equações anterior resulta,
x2 =
rm
parenleftbigg
sI + sII + sIII − 3ctan(φ)
parenrightbigg
+ a
3rparenleftbig(rm)2 + aparenrightbig (5.40)
96 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
Note-se que, caso o valor de x2 seja negativo, a solução não é válida. Esta situação
corresponde à projecção efectuada sobre a zona da recta representada a tracejado,
na Figura 5.3(b). Assim, pode concluir-se que, nesta situação, o ponto da superfície
mais próximo da solução inicial é, de facto, o vértice do cone (x2 = 0).
Por fim, através da mudança de coordenadas (5.35), obtém-se a solução final,
tildewidee =



w(rm + 2sI −sII −sIII)
w(rm + 2sII −sI −sIII)
w(rm + 2sIII −sI −sII)


 (5.41)
em que,
w =
braceleftBigg
x2 , x2 > 0
0, x2 ≤ 0 (5.42)
5.3.4.2 Problemas de estados planos de deformação
Para problemas de estados planos de deformação, o critério de Drucker-Prager coinhyphen.alt
cide com o de Mohr-Coulomb já analisado.
5.3.5 Minimização local para as descontinuidades da formuhyphen.alt
lação Híbrida/Mista
O problema de minimização localda parcela descontínua da formulação Híbrida/Mista
é expresso através de (4.93). Este apresenta uma particularidade face ao problema
de minimização da componente contínua. Com efeito, para os elementos quadrátihyphen.alt
cos e quando se utiliza uma aproximação linear para as descontinuidades (campo
das velocidades relativas), a parcela da penalidade da função objectivo apresenta
um termo bilinear. Para ilustrar este facto, apresenta-se o desenvolvimento desta
parcela para um elemento 2D (onde nP = 3):
r
2
nPsummationdisplay
j=1
∆
nP ˜q
T
ΓU
T
ΓjUΓj˜qΓ =
r∆
6
parenleftbigg
˜qTΓ1˜qΓ1 + 14(˜qΓ1 + ˜qΓ2)T(˜qΓ1 + ˜qΓ2) + ˜qTΓ2˜qΓ2
parenrightbigg
= r∆6
parenleftbigg5
4˜q
T
Γ1˜qΓ1 +
5
4˜q
T
Γ2˜qΓ2 +
1
2˜q
T
Γ1˜qΓ2
parenrightbigg
(5.43)
5.3. ESTRATÉGIAS DE MINIMIZAÇÃO LOCAL 97
A existência do termo bilinear, assinalado a sublinhado em (5.43), elimina a natuhyphen.alt
reza radial da função objectivo que é de manifesta utilidade como já se constatou
durante a apresentação das estratégias de minimização da componente contínua.
Com vista a recuperar esta propriedade, propõe-se a introdução de uma variável
adicional associada à velocidade relativa dos nós intermédios. Esta é, na realidade,
um grau de liberdade virtual já que não confere um aumento efectivo do número de
graus de liberdade do problema. Com efeito, e de modo a garantir a obtenção de
um campo estritamente compatível, é necessário acrescentar uma restrição por cada
grau de liberdade adicionado. Essa última garantirá a linearidade do campo obtido,
anulando o efeito do grau de liberdade adicional.
Na Figura 5.4 ilustram-se as funções de aproximação resultantes da introdução do
grau de liberdade adicional, qΓ3, numa interface 2D. A restrição que garante a linehyphen.alt
aridade da solução é, naturalmente:
qΓ3 = 12(qΓ1 + qΓ2) (5.44)
111
qΓ1 qΓ2 qΓ3
Figura 5.4: Funções aproximação para descontinuidades 2D
As funções de aproximação correspondentes à introdução de graus de liberdade adihyphen.alt
cionais, no caso da interface de elementos 3D, são representadas na Figura 5.5,
devendo, neste caso, a restrição (5.44) ser alargada aos pontos intermédios correshyphen.alt
pondentes, ou seja,
qΓ4 = 12(qΓ1 + qΓ2), qΓ5 = 12(qΓ2 + qΓ3), qΓ6 = 12(qΓ1 + qΓ3) (5.45a-c)
Face ao exposto, um funcional Lagrangeano equivalente ao do problema de minimihyphen.alt
zação local (4.93) pode ser escrito na forma:
L∗d(˜qΓ) =



D−summationtextnPj=1 ˜sTj qΓj + r2 summationtextnPj=1 ˜qTΓj˜qΓj , nI negationslash= 1
D−qTΓ summationtextnPj=1 ˜sj + nP r2˜qTΓ˜qΓ , nI = 1
(5.46)
98 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
qΓ1 qΓ2 qΓ3
qΓ4
qΓ5
qΓ6
Figura 5.5: Funções aproximação para descontinuidades 3D
em que,
D = nP∆
integraldisplay
Γd
D(˜qΓ)dΓ (5.47)
Refere-se ainda que o vector ˜qΓj armazena as componentes normal, qn, e tangencial,
qt, dos graus de liberdade associados ao nó j, para os casos 2D e 3D, pela seguinte
ordem:
˜qΓj =
braceleftBigg
qn
qt
bracerightBigg
j
, ˜qΓj =



qn
qt1
qt2



j
(5.48a-b)
5.3.5.1 Materiais friccionais
Para os materiais friccionais, a componente da dissipação, D, é dada por:
D =
nVsummationdisplay
j=1
cj
tanφq
n
j (5.49)
com,
cj = c nPn
I∆
∆j (5.50)
5.3. ESTRATÉGIAS DE MINIMIZAÇÃO LOCAL 99
Na expressão anterior, ∆j é o comprimento ou área da região onde a função de
aproximação local associada ao nó j é não nula. Note-se que ∆j = ∆, excepto para
os casos representados nas Figuras 5.4 e 5.5. Por sua vez, os valores de nP e nI
podem ser consultados na Tabela 4.3 e o número de variáveis nodais, nV , é dado
por:
nV =
braceleftBigg
nP , nI negationslash= 1
nI , nI = 1 (5.51)
Descreve-se agora a determinação da solução óptima dos graus de liberdade assohyphen.alt
ciados a pontos localizados na extremidade da fronteira (não intermédios), para o
caso 3D. Refira-se que a solução do caso 2D pode ser obtida a partir da solução 3D
impondo, para tal, que uma das componentes tangenciais seja nula. Salienta-se que,
à semelhança do que ocorre para a componente contínua, também nesta situação a
solução para cada nó (incluindo os nós intermédios, caso existam) é independente
dos restantes nós.
Assim, impondo a condição,
∇L∗d(˜qΓj) = 0 (5.52)
obtém-se,
˜q0Γj = 1rparenleftbig˜sj − cjtanφ{1,0,0}Tparenrightbig (5.53)
Para manter a validade da expressão anterior no caso de nI = 1, ˜sj e r deverão ser
substituídos, respectivamente, por:
˜s′j =
nPsummationdisplay
j=1
˜sj , r′ = nPr (5.54a-b)
Até aqui, procedeu-se à minimização sem garantir quer a condição de linearidade dos
pontos intermédios (5.45) quer a condição de normalidade (2.28). Para satisfazer
a primeira das condições anteriores recorre-se ao Método dos Mínimos Quadrados
de modo a encontrar o melhor ajustamento dos pontos determinados a uma solução
linear. É possível demonstrar que, com esta abordagem, a solução obtida é análoga
à do caso em que não tivessem sido utilizadas as variáveis adicionais para os pontos
intermédios. Assim, da aplicação do Método dos Mínimos Quadrados para o caso
100 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
3D, expresso através do problema de minimização,
Min Q(˜qΓ1,˜qΓ2,˜qΓ3) = (˜qΓ1 − ˜q0Γ1)2 + (˜qΓ2 − ˜q0Γ2)2 + (˜qΓ3 − ˜q0Γ3)2
+parenleftbig˜qΓ1 + ˜qΓ22 − ˜q0Γ4parenrightbig2 +parenleftbig˜qΓ2 + ˜qΓ32 − ˜q0Γ5parenrightbig2 +parenleftbig˜qΓ1 + ˜qΓ32 − ˜q0Γ6parenrightbig2
(5.55)
resulta a seguinte solução para os pontos das extremidades:
o =





˜qΓ1 = 110(7˜q0Γ1 − ˜q0Γ2 − ˜q0Γ3 + 3˜q0Γ4 − ˜q0Γ5 + 3˜q0Γ6)
˜qΓ2 = 110(−˜q0Γ1 + 7˜q0Γ2 − ˜q0Γ3 + 3˜q0Γ4 + 3˜q0Γ5 − ˜q0Γ6)
˜qΓ3 = 110(−˜q0Γ1 − ˜q0Γ2 + 7˜q0Γ3 − ˜q0Γ4 + 3˜q0Γ5 + 3˜q0Γ6)
(5.56)
Na circunstância dos pontos da solução (5.56) respeitarem a condição de normalidade
(2.28), verificada através de,
qnj
qtj ≥ tanφ (5.57)
onde,
qtj =
radicalBig
(qt1j )2 + (qt2j )2 , cosα = q
t1
j
qtj , sinα =
qt2j
qtj (5.58a-c)
a solução fica automaticamente encontrada. Contrariamente, basta projectar aquehyphen.alt
les pontos que não a satisfazem sobre a superfície do espaço das soluções admissíveis.
Esta operação é ilustrada na Figura (5.6), e o seu resultado é dado por:
qnj = bj sinφcosφ, qtj = bj cos2 φ (5.59a-b)
em que,
bj =


otj + onj tanφ, onj > − o
t
j
tanφ
0, caso contrário
(5.60)
Deste modo, a solução final é dada através da expressão,
˜qΓj =



qn1
qt1 cosα
qt1 sinα


 (5.61)
Uma vez determinadas as velocidades relativas para os pontos das extremidades, a
5.3. ESTRATÉGIAS DE MINIMIZAÇÃO LOCAL 101
n
tbj
φ oj
Figura 5.6: Projecção sobre a superfície do espaço das soluções admissíveis
solução dos pontos intermédios é obtida com base na média dos valores dos pontos
das extremidades que estejam associados ao mesmo lado.
5.3.5.2 Materiais puramente coesivos
A minimização local de descontinuidades para materiais puramente coesivos efechyphen.alt
tua-se apenas para as componentes tangenciais da velocidade relativa, dado que a
condição de normalidade (2.30) força a que a componente normal seja nula,
qnj = 0 (5.62)
Na maioria dos casos (nI > 1), revela-se demasiado complexo proceder à minimizahyphen.alt
ção local, avaliando, de um modo exacto, a dissipação plástica nas descontinuidades.
Alternativamente, propõe-se a utilização do seguinte majorante para a componente
da dissipação, D, dado por:
nVsummationdisplay
j=1
kIj
radicalBig
(qt1j )2 + (qt2j )2 ≥D (5.63)
com,
kIj = kI nPn
I∆
∆j (5.64)
Nas expressões anteriores, nV e ∆j mantêm as definições que lhes foram atribuídas
na secção precedente durante a análise da minimização para os materiais friccionais.
Para permitir a utilização da expressão (5.63) no caso 2D, basta assumir que qt1j =
qtj e qt2j = 0. Além disso, no caso de nI = 1, os parâmetros ˜sj e r deverão ser
substituídos pelos parâmetros alternativos definidos em (5.54).
102 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
Descreve-se, agora, a obtenção da solução óptima do Lagrangeano de (5.46) para
cada ponto da fronteira. Analisando a função objectivo nodal obtida da combinação
de (5.46) com (5.63), é possível concluir que existem 2 pontos que são possíveis
candidatos à solução:
qt1j = qt2j = 0 (5.65a)
ou,
qtij =



stij
radicalBig
(st1j )2 + (st2j )2 −kIj
r
radicalBig
(st1j )2 + (st2j )2
,stij negationslash= 0
0 ,stij = 0
com i = 1,2 (5.65b)
A opção entre (5.65a) e (5.65b) faz-se determinando qual a que produz um melhor
valor na função objectivo.
Contudo, a solução precedente não garante as condições de linearidade da solução,
(5.44) ou (5.45), para as interfaces entre elementos quadráticos. Para tal, basta
seguir o procedimento anteriormente descrito para os materiais friccionais: ajuste
dos pontos obtidos a uma solução linear através do Método dos Mínimos Quadrados
(5.55). Seguindo uma vez mais o procedimento adoptado para os materiais friccihyphen.alt
onais, a solução para os pontos intermédios é obtida a posteriori com base numa
média dos valores dos pontos extremos.
5.4 Corpos Rígidos
Descreve-se, de seguida, o modo de incorporar corpos rígidos na implementação da
presente formulação. É evidente que, na prática, estes poderiam ser modelados atrahyphen.alt
vés da atribuição de propriedades mecânicas fictícias conferindo elevada resistência
aos elementos finitos que os constituem. Ficaria, assim, impossibilitada a deformahyphen.alt
ção plástica destes elementos na formação do mecanismo de colapso óptimo, por
estar, necessariamente, associada a dissipações incomportavelmente elevadas. Tohyphen.alt
davia, do ponto de vista numérico, este procedimento é ineficiente. Repare-se que,
não só durante o processo de minimização local estes elementos seriam desnecessahyphen.alt
riamente processados, como também haveria uma utilização de graus de liberdade
supérfluos no sistema governativo global.
A alternativa consiste em associar a cada corpo rígido um nó virtual localizado na
5.4. CORPOS RÍGIDOS 103
origem do sistema de coordenadas global (Figura 5.7). A este nó são atribuidos 6
graus de liberdade: 3 velocidades (dx,dy,dz) e 3 velocidades angulares (dθx,dθy,dθz).
replacemen
Legenda :
corpo rígido
elemento
regular
elemento do
dθy
dθx
dθz
dz
dy
dx
dx
dy
dz
O
k = ∞
k = ∞
Figura 5.7: Graus liberdade de um corpo rígido
Através de uma matriz de transformação, T, é possível estabelecer uma relação uníhyphen.alt
voca entre os graus de liberdade do nó virtual e os graus de liberdade de velocidade
de um nó genérico, i, que pertença a um dos elementos que constituem o corpo
rígido:
di = Tid , d = TTi di (5.66a-b)
com,
di =



dx
dy
dz



i
, Ti =


1 · · · zi −yi
· 1 · −zi · xi
· · 1 yi −xi ·

 , d =







dx
dy
dz
dθx
dθy
dθz







(5.67a-c)
em que, xi, yi e zi são as coordenadas do nó i.
Este facto permite eliminar todos os graus de liberdade associados a nós do corpo
rígido do sistema governativo global, substituindo-os, alternativamente, pelas variáhyphen.alt
veis do nó virtual. Para tal, é necessário que, antes de se realizar a operação de
espalhamento das contribuições elementares, se proceda à transformação das granhyphen.alt
dezas calculadas para os graus de liberdade locais dos nós, d, representadas por A
104 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
e V , em grandezas referentes aos graus de liberdade globais d:
Ae©ij = TTi Ae©ij Tj (5.68a)
V e©i = TTi V e©i , V = F, ˜F,Λ ou L (5.68b)
Na expressão anterior, e© simboliza que a grandeza em questão se trata de uma
contribuição elementar. Os índices i e j são referentes aos nós considerados. Na
circunstância de um nó não pertencer a um corpo rígido, a matriz de transformação
a ele associado assume a forma da matriz identidade, T = I.
Por sua vez, as condições de apoio impostas ao nó i, do corpo rígido, são introduzidas
no modelo através do seguinte artifício numérico:
Ae©ii = TTi

 kx · ·· k
y ·
· · kz

T
i (5.69)
onde kx, ky e kz têm o valor 0 ou ∞ (ou seja, um valor numérico muito elevado),
consoante o deslocamento na direcção em questão se encontre livre ou restringido,
respectivamente.
Esta utilização das variáveis do nó virtual no sistema governativo global em dehyphen.alt
trimento das variáveis nodais locais pode representar uma redução considerável de
graus de liberdade.
A consideração de elementos de corpo rígido permite também que estes sejam ignohyphen.alt
rados aquando do processo de cálculo, nomeadamente, na montagem da matriz do
sistema governativo e na minimização local. Mais ainda, não é necessário associar
multiplicadores de Lagrange a estes elementos, abreviando-se o processo de actuhyphen.alt
alização dos mesmos. Ressalva-se que é, no entanto, indispensável contabilizar as
forças de massa a eles associadas para o cálculo dos vectores F e ˜F.
5.5 Pós-processamento da solução
Nesta secção é apresentado um algoritmo expedito para melhorar a solução na fase
de pós-processamento. As considerações aqui efectuadas apenas dizem respeito às
5.5. PÓS-PROCESSAMENTO DA SOLUÇÃO 105
análises efectuadas com elementos quadráticos e materiais puramente coesivos.
Como foi visto na secção 5.3 referente às estratégias de minimização local, para os
critérios de Tresca e de von Mises a contabilização da dissipação plástica em cada
elemento é realizada através de uma expressão que majora o valor da dissipação
efectiva (5.1).
Assim, uma melhoria da estimativa da carga de colapso pode ser obtida recalculando
o valor da dissipação de uma forma mais precisa, com base no campo cinemático
determinado inicialmente. É, no entanto, necessário garantir que o valor da dissipahyphen.alt
ção não seja subestimado. Refira-se que o custo computacional de tal operação é
significativamente reduzido.
O algoritmo idealizado para este efeito é muito simples, e consiste em subdividir
recursivamente o elemento, reavaliando a dissipação nas novas regiões resultantes
com base na expressão majorante (5.1). A decisão de prosseguir com o refinamento
de uma dada subregião faz-se caso a redução da dissipação em relação ao nível
anterior tenha sido superior a um valor estipulado (usualmente 1%).
A título de exemplo representa-se, na Figura 5.8, 3 etapas sucessivas do processo de
subdivisão para um elemento triangular.
Figura 5.8: Subdivisão de um elemento triangular para o cálculo da dissipação em
pós-processamento
Os testes numéricos efectuados permitiram constatar que, para malhas com um nível
médio de refinamento, o pós-processamento das soluções permite habitualmente uma
redução entre 1 a 3% do valor da estimativa da carga de colapso. Estes valores
tendem a reduzir com o aumento do nível de refinamento das malhas utilizadas.
Para concluir, refere-se que esta estratégia também poderia ser utilizada para melhohyphen.alt
rar a contribuição da parcela das descontinuidades 3D, quando se utiliza um material
do tipo puramente coesivo e campos lineares para a velocidade relativa. No entanto,
esta possibilidade não foi explorada no presente trabalho.
106 CAPÍTULO 5. IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA
Capítulo 6
Processamento paralelo
6.1 Introdução
Não obstante os notáveis desenvolvimentos tecnológicos observados na área da inhyphen.alt
formática, tanto a nível da velocidade de processamento, da capacidade de memória
e de armazenamento de dados bem como da velocidade de comunicação de dados,
a determinação de estimativas precisas de cargas de colapso de sistemas mecânicos
com um comportamento perfeitamente plástico pode, ainda hoje, representar um
esforço computacional significativo. Este facto agudiza-se particularmente na resohyphen.alt
lução da generalidade dos problemas de geometrias sólidas 3D. Em muitos destes
problemas constata-se, inclusivamente, uma diminuição apreciável da qualidade dos
resultados obtidos decorrente de limitações nas capacidades de cálculo, designadahyphen.alt
mente de memória.
Com o intuito de colmatar estas limitações surgiu a motivação e interesse pela aborhyphen.alt
dagem proposta neste capítulo: o desenvolvimento da implementação paralela do
modelo proposto. Recorrendo a esta estratégia é possível resolver problemas de
grandes dimensões que excedem as capacidades de cálculo associadas a um único
computador, tornando, simultaneamente, comportável o tempo despendido na anáhyphen.alt
lise.
A utilização de computação paralela na mecânica computacional encontra-se actuhyphen.alt
almente largamente difundida. Embora tenha vindo a ser objecto de grande desenhyphen.alt
volvimento nos últimos anos, parece no entanto ter sido até agora uma abordagem
107
108 CAPÍTULO 6. PROCESSAMENTO PARALELO
negligenciada na área da Análise Limite, facto comprovado pela aparente inexistênhyphen.alt
cia de documentação científica neste domínio.
Uma análise atenta da formulação proposta revela uma evidente adequabilidade do
processo iterativo utilizado para ser transposto num algoritmo de processamento
paralelo. Observe-se que, das três principais fases do processo iterativo que reprehyphen.alt
sentam o maior consumo de tempo de cálculo, duas delas se processam ao nível
de cada elemento finito, nomeadamente, a minimização local e a actualização dos
multiplicadores de Lagrange. As vantagens decorrentes deste facto são notórias: os
procedimentos utilizados no algoritmo sequencial não requerem quaisquer adaptahyphen.alt
ções para a implementação paralela, bastando apenas definir uma distribuição de
elementos para cada processador envolvido nos cálculos, o qual fica encarregue de
processar os elementos a ele atribuidos. Adicionalmente, e dado que no decorrer deshyphen.alt
tas etapas não existe necessidade de comunicações inter-processadores para troca
dados, sempre penalizadoras no que respeita ao consumo de tempo, é possível atinhyphen.alt
gir uma excelente escalabilidade1.
Contrariamente ao que foi observado para as fases referidas anteriormente, a fase da
minimização global requere a contribuição e envolvimento simultâneo de todos os
elementos finitos do modelo. É nesta fase que, num algoritmo paralelo de resolução
do problema, se concentra o volume mais significativo de comunicações inter-prohyphen.alt
cessadores, ficando o desempenho desse algoritmo condicionado essencialmente pela
eficiência revelada durante esta fase. Foi por isso dedicado especial relevo ao trahyphen.alt
tamento do problema associado à minimização global: a resolução em paralelo de
um sistema de equações linear, tendo em atenção as especificidades que advêm da
formulação.
6.2 Paralelização do algoritmo
Apresenta-se, de seguida, a descrição da paralelização do modelo de elementos finitos
para Análise Limite aqui proposto.
1Entende-se por escalabilidade a capacidade de um algoritmo melhorar o seu desempenho prohyphen.alt
porcionalmente ao aumento do número de processadores envolvidos nos cálculos
6.2. PARALELIZAÇÃO DO ALGORITMO 109
6.2.1 Considerações iniciais
Ao conceber um algoritmo paralelo é fundamental ter em consideração as caractehyphen.alt
rísticas do tipo de arquitectura paralela que se pretende utilizar. O algoritmo aqui
desenvolvido destina-se a um modelo de arquitectura de memória distribuída, na
qual a comunicação de dados entre diferentes processos é realizada através de um
sistema de troca de mensagens. Para a sua implementação recorreu-se à interface
de programação padrão MPI (Message Passing Interface) [118].
No tipo de arquitectura supramencionado a necessidade de comunicações de dados
inter-processadores representa uma penalização para o desempenho do algoritmo
devido à velocidade muito inferior a que estas se processam comparativamente com
as comunicações CPU/memória. Deste modo, no modelo paralelo implementado,
estas devem ser limitadas a um mínimo estritamente necessário, sendo, em geral,
considerada uma boa prática procurar enviar um número reduzido de mensagens
grandes em detrimento de um número elevado de pequenas mensagens.
O primeiro passo para atingir este objectivo passa por executar uma partição adehyphen.alt
quada do domínio em estudo. Considerou-se fora do âmbito deste trabalho o desenhyphen.alt
volvimento de um algoritmo de partição do domínio, tendo-se recorrido para este
efeito, sempre que necessário, a um software de código aberto denominado MeTiS
[64]. Contudo, julga-se indispensável enumerar as características fundamentais que
um algoritmo deste tipo deverá exibir. Assim, tal como é salientado em [4], um
bom algoritmo de partição de domínio deverá ser capaz de fornecer, para qualquer
malha de elementos finitos (mesmo de uma geometria irregular), uma distribuição
de elementos em subdomínios, que garanta:
i. a obtenção de um bom balanceamento de carga, ou seja que, os elementos atribuíhyphen.alt
dos a cada subdomínio deverão ser repartidos equitativamente, proporcionando
um distribuição semelhante de graus de liberdade e, consequentemente, um vohyphen.alt
lume de cálculo idêntico a cada processador;
ii. que o número de nós partilhado por elementos de diferentes subdomínios seja
o menor possível. Esta medida conduz a uma redução do volume de comunicahyphen.alt
ções inter-processadores. É ainda conveniente evitar que os nós das interfaces
dos subdomínios pertençam a mais do que dois subdomínios simultaneamente,
reduzindo deste modo a largura de banda ou o perfil da matriz complementar
110 CAPÍTULO 6. PROCESSAMENTO PARALELO
de Schur, a qual estabelece a ligação entre os graus de liberdade das interfaces
dos subdomínios;
iii. que o tempo despendido pelo algoritmo de partição seja pouco significativo
quando comparado com o tempo total de resolução do problema.
6.2.2 Paradigma Master/Slaves
O algoritmo paralelo proposto baseia-se no paradigma Master/Slaves. Este parahyphen.alt
digma demarca os processos atribuídos a cada processador em duas entidades bem
distintas. O processo Master, que é único, fica encarregue de decompor o problema
em tarefas que distribui para serem executadas pelos restantes processos denominahyphen.alt
dos Slaves. O Master acumula ainda a função de recolher resultados parciais dos
Slaves de modo a controlar e coordenar a evolução dos cálculos. Deste modo, duhyphen.alt
rante toda a computação, a interacção directa entre processos Slaves é inexistente
ou definida a priori pelo Master.
Convém ainda esclarecer que na computação paralela é usual atribuir-se um processo
a cada processador disponível. Não é, no entanto, forçoso que assim seja: por
exemplo, no caso do volume de cálculo do processo Master ser significativamente
inferior ao dos Slaves, pode justificar-se que um mesmo processador seja incumbido
de executar o processo Master e um processo Slave.
Tendo em atenção a descrição genérica apresentada para as funções atribuídas aos
processos Master e Slave, cabe agora detalhar as mesmas para o modelo proposto.
Assim, o algoritmo inicia-se no Master com a execução da partição do domínio e
sua comunicação aos Slaves, sendo que cada Slave recebe apenas a informação nehyphen.alt
cessária associada aos elementos que a partição efectuada lhe atribui. A partição do
domínio depende do método adoptado para a resolução do sistema governativo da
minimização global. Para este efeito foram implementados quatro métodos alternahyphen.alt
tivos os quais serão apresentados e discutidos em detalhe na secção 6.3. Desde já se
adianta que, para a generalidade dos métodos de resolução utilizados, se optou por
uma partição de domínio sem sobreposição de elementos, sendo o balanceamento da
carga baseado numa distribuição de igual número de elementos para os diferentes
subdomínios, conforme é exemplificado na Figura 6.1(a). A excepção observa-se
para o algoritmo proposto na secção 6.3.3. Neste método de resolução optou-se por
6.2. PARALELIZAÇÃO DO ALGORITMO 111
uma partição de domínio com sobreposição de elementos, onde o critério de balancehyphen.alt
amento da carga assenta numa distribuição equitativa dos graus de liberdade nodais
pelos diversos subdomínios. Assim, conforme é exemplificado na Figura 6.1(b), um
elemento que contenha um nó partilhado pertence também ele simultaneamente a
dois subdomínios. É evidente que este tipo de partição resulta numa redundância
de cálculos efectuados pelos Slaves, mas este facto não corresponde necessariamente
a uma perda de desempenho já que é compensado por um menor volume de comuhyphen.alt
nicações inter-processadores. A escolha de uma alternativa de partição de domínio
com sobreposição de elementos justifica-se pelo tipo de armazenamento efectuado
pelo algoritmo de resolução do sistema, armazenamento este, também ele com inforhyphen.alt
mação redundante, já que, por razões de eficiência, não tira partido da simetria da
matriz do sistema.
Legenda :
nó partilhado
nó interior
(a) partição sem sobreposição
de elementos de elementos
elemento do
elemento do
elemento
subdomínio I
subdomínio II
partilhado(b) partição com sobreposição
Figura 6.1: Ilustração das estratégias de partição de domínio para 2 subdomínios
Uma vez recebida a informação proveniente do Master, os Slaves procedem à comhyphen.alt
putação das contribuições dos elementos finitos dos respectivos subdomínios para o
sistema governativo da minimização global, seguida da assemblagem do sistema. É
importante referir que a matriz do sistema governativo é dividida em blocos, estando
estes distribuídos e armazenados pelos diferentes Slaves e pelo Master. Por sua vez,
a assemblagem do sistema poder-se-à processar explicitamente ou implicitamente.
O procedimento de assemblagem bem como a divisão e modo de armazenamento dos
blocos que constituem o sistema são factores que estão naturalmente dependentes
do método de resolução preconizado.
Esta fase inicial da computação paralela termina com a factorização, completa ou
parcial, do sistema governativo, dando-se então início aoprocesso iterativo de Uzawa.
Uma vez mais, o tipo de factorização é também ele dependente do método de resohyphen.alt
112 CAPÍTULO 6. PROCESSAMENTO PARALELO
(1)
(1)
(2)
(2)
(3)
(3)
(3)
(4)(4)
Legenda:
enviar mensagem
receber mensagem
Master Slaves
domínio
Partição do
Cálculo
sistema governativo
Minimização
Minimização
local
troca de mensagens
troca de mensagens FactorizaçãoFactorização
ResoluçãoResolução
multiplicadores
do sistemado sistema
Actualizar
Actualizar r
Escrita dos
resultados
Não
Não Novo ciclo?
Sim
SimConvergiu?
TerminarTerminar
Global:
Al
go
rit
mo
de
Uz
aw
a
Figura 6.2: Diagrama do algoritmo paralelo
6.3. RESOLUÇÃO DO SISTEMA GOVERNATIVO GLOBAL 113
lução adoptado.
Conforme ilustrado no diagrama da Figura 6.2, o algoritmo de Uzawa não requere
alterações significativas. Além disso, durante este processo iterativo só há três ocahyphen.alt
siões em que existe a necessidade de estabelecer comunicações inter-processadores.
A primeira ocasião regista-se durante a fase da minimização global, sendo esta a que
envolve o maior volume de troca de dados. De facto, a troca de dados observada nas
restantes ocasiões é, comparativamente, insignificante. Após a fase da actualização
dos multiplicadores, os Slaves comunicam ao Master o valor do máximo erro para a
taxa das deformações resultante da diferença entre as aproximações global e local,
ǫmáxrr = máx{BNidi −ei} (6.1)
Adicionalmente, os Slaves fornecem ao Master os valores do trabalho das forças fixas
e da dissipação plástica dos respectivos subdomínios.
Finalmente, ao concluir uma iteração, o Master informa os Slaves se deverão ou
não executar uma nova iteração. Em caso afirmativo, comunica também o valor
actualizado do parâmetro de penalização, r.
6.3 Resolução do sistema governativo da minimizahyphen.alt
ção global
Conforme salientado anteriormente, o desempenho doalgoritmo paralelo depende em
grande medida da eficiência conseguida na implementação do método de resolução
do sistema governativo da minimização global. Deste modo foi dedicada particular
atenção a este aspecto, tendo sido testadas diversas alternativas.
Os métodos de resolução iterativos são, sem dúvida, os mais difundidos para a rehyphen.alt
solução em paralelo de sistemas de equações lineares, esparsos, bem condicionados
e de grandes dimensões, sendo todas estas características observadas nos sistemas
governativos resultantes do modelo desenvolvido. São diversas as razões que se pohyphen.alt
dem apontar para justificar esta primazia em detrimento dos métodos de resolução
directos. Desde já refere-se que a implementação em paralelo dos métodos iterativos
é, em geral, pouco complexa. Adicionalmente, estes últimos requerem, comparatihyphen.alt
114 CAPÍTULO 6. PROCESSAMENTO PARALELO
vamente aos métodos directos, menos memória e menor volume de comunicações
inter-processadores. Outra razão importante é o facto do número de operações nehyphen.alt
cessárias de vírgula flutuante crescer, naturalmente, com a dimensão do sistema de
equações, sendo este crescimento mais acentuado no caso dos métodos directos.
Contudo, os métodos de resolução directa, para além da sua robustez numérica, tenhyphen.alt
dem a suplantar o desempenho dos iterativos sempre que se pretenda resolver um
sistema de equações com múltiplos termos independentes. A explicação deste facto
é evidente: a factorização da matriz, que representa o consumo mais significativo de
tempo de cálculo, é efectuada uma única vez, sendo que a solução para os diferentes
termos independentes é obtida através de um procedimento combinado de substituihyphen.alt
ção directa e retrosubstituição. Estas situações de múltiplos termos independentes
surgem com alguma frequência na área da mecânica estrutural. Vejam-se os exemhyphen.alt
plos, em regime elástico, de problemas de estruturas sujeitas a diversas combinações
de carregamento ou a determinação da resposta dinâmica com integração numérica
passo-a-passo no domínio do tempo.
Também para a adaptação do algoritmo de Uzawa feita no presente trabalho se vehyphen.alt
rifica que a matriz do sistema governativo permanece inalterada no decorrer do prohyphen.alt
cesso iterativo modificando-se apenas o termo independente. Assim sendo, e tendo
em consideração os argumentos acima expostos, a escolha do método de resolução
adoptado recaiu na utilização de métodos directos (seguindo a mesma estratégia anhyphen.alt
teriormente utilizada para a implementação sequencial do modelo). Entre estes, três
alternativas distintas foram implementadas, as quais serão objecto das subsecções
seguintes.
Adicionalmente, foi igualmente implementado um método híbrido denominado FETI
(o acrónimo de Finite Element Tearing and Interconnecting) [39], [44], [108], que
combina um método de resolução directo com um método iterativo. Este é, porvenhyphen.alt
tura, um dos métodos paralelos mais utilizado e mais bem sucedido na resolução de
sistemas lineares resultantes de problemas regidos por equações diferenciais parciais
elípticas [36].
A ideia fundamental subjacente à maioria dos métodos aqui apresentados é simples:
dividir o sistema de equações inicial num conjunto de sub-sistemas independentes
e de menores dimensões, estabelecendo simultaneamente um conjunto de equações
adicional que impõe a ligação entre os diferentes sub-sistemas de equações. Os métohyphen.alt
6.3. RESOLUÇÃO DO SISTEMA GOVERNATIVO GLOBAL 115
dos de resolução que adoptam este tipo de abordagem denominam-se genericamente
por métodos de decomposição de domínio [125].
Nos pontos seguintes far-se-á a descrição das diferentes estratégias de resolução
adoptadas.
6.3.1 Método de subestruturação
No método de subestruturação [125], o domínio original é particionado num conjunto
de nSD sub-domínios, não sobrepostos. Com base numa técnica de condensação, os
graus de liberdade associados aos nós internos de cada partição são eliminados do
sistema original, permanecendo apenas as incógnitas nodais dos nós localizados nas
fronteiras dos sub-domínios.
Para tal, considere-se um sistema linear de equações escrito numa forma genérica,
podendo este representar o sistema governativo associado à minimização global do
algoritmo de Uzawa,
Aq = R (6.2)
Adicionalmente, assuma-se a matriz A como sendo simétrica e não-singular. Agruhyphen.alt
pando convenientemente os graus de liberdade dos nós interiores de cada sub-dohyphen.alt
mínio e os dos nós das fronteiras, o sistema (6.2) pode ser reescrito da seguinte
forma:





A1I A1C
A2I A2C
... ...
AnSDI AnSDC
(A1C)T (A2C)T (AnSDC )T AF












q1I
q2I
...
qnSDI
qF







=







R1I
R2I
...
RnSDI
RF







(6.3)
onde, o vector qiI agrupa os graus de liberdade dos nós interiores correspondentes
ao sub-domínio i. Por sua vez, as incógnitas nodais das fronteiras são agrupadas no
vector qF.
Através da manipulação algébrica das equações do sistema (6.3) é possível exprimir
116 CAPÍTULO 6. PROCESSAMENTO PARALELO
as incógnitas nodais interiores em função das incógnitas da fronteira,
qiI = (AiI)−1parenleftbigRiI −AiCqFparenrightbig (6.4)
Combinando agora (6.4) com o último bloco de equações do sistema (6.3), elimihyphen.alt
nam-se as incógnitas dos nós interiores, qI, e obtém-se um novo sistema de equações
condensado, no qual se conservam apenas as incógnitas nodais associadas às fronteihyphen.alt
ras dos sub-domínios,
SqF = RS (6.5)
Na equação (6.5) expressão da matriz complementar de Schur, S, em relação à
incógnitas nodais, qF, é dada por,
S = AF −
nSDsummationdisplay
i=1
(AiC)T(AiI)−1AiC (6.6)
e a expressão do termo independente por,
RS = RF −
nSDsummationdisplay
i=1
(AiC)T(AiI)−1RiI (6.7)
Como se pode observar, S e RS resultam da junção de contribuições locais dos
sub-domínios aos termos de fronteira iniciais, AF e RF.
É com base neste método que foi realizada a implementação do primeiro algoritmo
utilizado para a resolução do sistema governativo da minimização global. Assim,
determina-se que cada Slave fica encarregue de calcular a respectiva contribuição
para o problema da interface (6.5), transferindo-a, uma vez calculada, para o Mashyphen.alt
ter. Esta contribuição, engloba para além da respectiva parcela do somatório da
expressão (6.6), as parcelas dos termos da matriz AF cujos elementos pertencem à
partição do Slave.
Este fica encarregue de todos os cálculos associados ao problema de interface, nomehyphen.alt
adamente, de armazenar a matriz complementar de Schur (6.6) e proceder à respechyphen.alt
tiva factorização. Por fim, fornece a solução das incógnitas da interface mediante
um processo de substituição directa combinada com retrosubstituição.
6.3. RESOLUÇÃO DO SISTEMA GOVERNATIVO GLOBAL 117
No entanto, é importante referir que esta estratégia de resolução apresenta uma fraca
escalabilidade. Além disso tem também uma limitação intrínseca no que respeita à
dimensão dos problemas que é capaz de resolver, atendendo ao facto da dimensão
do sistema de interface (6.5) crescer com o aumento do número de sub-domínios.
Adicionalmente, a matriz complementar de Schur apresenta uma estrutura significahyphen.alt
tivamente mais densa do que o sistema esparso original. Obviamente, a utilização
deste método fica restringida a situações onde a dimensão do problema de interface
não exceda as capacidades computacionais do Master.
6.3.2 Método de subestruturação recursiva
O método de subestruturação recursiva foi implementado [130] com o intuito de
colmatar as limitações reveladas pelo método anterior, tornando assim possível a
resolução de problemas de maior dimensão. A estratégia subjacente a este método
consiste em decompor o sistema representativo do problema de interface numa suhyphen.alt
cessão de sistemas de menor dimensão, através da condensação progressiva dos seus
graus de liberdade. Esta condensação processa-se recorrendo à formação do sistema
complementar de Schur (6.5), analogamente ao método precedente. Deste modo,
esta estratégia pode ser observada como uma generalização do método de subestruhyphen.alt
turação.
Como ponto de partida, procede-se ao agrupamento de todos os graus de liberdade
da interface, qF. Cada grupo é composto por incógnitas associadas a nós que partihyphen.alt
lham os mesmos sub-domínios. Considera-se que cada um dos grupos assim formados
constituem uma fronteira distinta. Neste contexto, cada sub-domínio pode ser conhyphen.alt
siderado como um macro-elemento finito, delimitado pelas fronteiras anteriormente
referidas.
De modo a ilustrar o método descrito nesta secção, representa-se na Figura 6.3(a)
o exemplo de um problema com uma partição de 4 sub-domínios, identificados por
numerais romanos. Seguindo a definição acima estabelecida para as fronteiras da
interface, a partição adoptada origina um total de 7 fronteiras distintas (identificadas
por algarismos arábicos), a saber, as fronteiras formadas pelos nós que partilham
os sub-domínios: {I,II}, {I,III}, {I,IV}, {II,III}, {III,IV}, {I,II,III} e
{I,III,IV}.
118 CAPÍTULO 6. PROCESSAMENTO PARALELO
I
II
III
IV
1
23
45 6
7
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Figura 6.3: Ilustração da condensação progressiva dos graus de liberdade da interface
Uma vez agrupados os graus de liberdade pelas respectivas fronteiras, procede-se
à eliminação progressiva das fronteiras existentes, que corresponde à condensação
dos respectivos graus de liberdade nas sucessivas matrizes de interface. Esta acção
provoca, consequentemente, a fusão entre os macro-elementos existentes até resulhyphen.alt
tar num único macro-elemento abrangendo todo o domínio, conforme é ilustrado
na evolução das Figuras 6.3(a-c). A eliminação de uma fronteira realiza-se por
forma a juntar dois macro-elementos adjacentes, podendo proceder-se à eliminação
simultânea de fronteiras distintas, desde que estas não delimitem os mesmos macrohyphen.alt
-elementos, como é representado na passagem das Figuras 6.3(a-b). Esta eliminação
simultânea de fronteiras confere uma característica multifrontal [38] ao algoritmo. O
processo de eliminação das fronteiras só é dado por concluído quando restar apenas
uma única fronteira, Figura 6.3(f).
O algoritmo, tal como foi implementado, contempla apenas uma estratégia expedita
para o faseamento de eliminação das fronteiras. Assim, a fronteira escolhida para elihyphen.alt
minar é aquela que, entre as que ainda não foram eliminadas, reúne o maior número
de graus de liberdade. Esta é, porventura, a principal limitação deste algoritmo,
conforme se constatará no decurso desta secção. Adicionalmente, é ainda determihyphen.alt
nado se existem outras fronteiras que possam ser eliminadas simultaneamente com
a fronteira escolhida, de acordo com a regra acima estabelecida. O Master, na etapa
preparatória da resolução do problema de interface efectua a factorização simbólica
das sucessivas matrizes. É nesta etapa que o Master procede à determinação da orhyphen.alt
6.3. RESOLUÇÃO DO SISTEMA GOVERNATIVO GLOBAL 119
dem da eliminação das fronteiras, comunicando-a aos Slaves. A título de exemplo, a
Figura 6.4(a) mostra o grafo de eliminação de fronteiras correspondente ao exemplo
da Figura 6.3.
1
1
11
222
2
2
2
2
2
2
2
33
3
3
3
3
3
444
4
4
4
4
4
4
4
5
5
55
666
6
6
6
6
6
6
6
777
7
7
7
7
7
7
7
(a) (b)
x
x
xx
xx
xxxxx
x
x
xx
xx
xxxx
x xxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x xx
x xx
x xxxx
x xxxx
F
x - blocos não nulos
F - blocos com fill-in
bloco AF
bloco AI
bloco AC
Figura 6.4: Grafo de eliminação de fronteiras e ilustração do método de substrutuhyphen.alt
ração recursiva
No decorrer do processo de condensação sucessiva poderão existir blocos nulos que
são preenchidos, fenómeno denominado por fill-in. Estas ocorrências são também
determinadas pelo Master durante a factorização simbólica. Por sua vez, a etapa
de factorização numérica é realizada exclusivamente pelos Slaves, mediante a inforhyphen.alt
mação, decorrente da factorização simbólica, fornecida pelo Master. As operações
desta fase entre os diversos blocos envolvem o produto matriz-matriz e a inversão
de matrizes densas, tendo sido utilizadas para o efeito rotinas optimizadas das bihyphen.alt
bliotecas numéricas BLAS [14] e LAPACK [8]. Na Figura 6.4(b) representam-se os
passos iniciais da eliminação das fronteiras através do método da subestruturação
recursiva.
Como se depreende da descrição fornecida, a implementação do código em paralelo
do algoritmo baseado no presente método é significativamente mais complexa do
que aquela requerida para o método da subestruturação.
Para concluir, menciona-se que nas referências [65], [66] e [67] é apresentado um alhyphen.alt
goritmo paralelo de resolução directa de sistemas de equações de alto desempenho.
Embora o método descrito nesta secção tenha sido desenvolvido de forma totalmente
120 CAPÍTULO 6. PROCESSAMENTO PARALELO
independente e desconhecendo os trabalhos anteriormente citados, constatou-se poshyphen.alt
teriormente que os mesmos se baseiam em princípios análogos: a aplicação recursiva
do método de subestruturação ao problema de interface. Considerou-se por isso,
indispensável a citação dos referidos trabalhos. Identificam-se de seguida as difehyphen.alt
renças mais relevantes entre o algoritmo aqui proposto e o algoritmo supracitado,
diferenças essas que permitem a atribuição a este último da classificação de alto
desempenho por parte dos seus autores [66], [67].
A análise comparativa do método de implementação de ambos os algoritmos revela
que, de todas as diferenças encontradas, aquela que poderá justificar uma eventual
discrepância no desempenho é a estratégia delineada para o faseamento da elimihyphen.alt
nação das fronteiras. Esta estratégia encontra-se também associada à definição da
distribuição de tarefas atribuídas a cada processador, visando obter a máxima ocuhyphen.alt
pação simultânea dos processadores e impondo um padrão de comunicações inter-
-processadores que reduza a sua interacção. Efectivamente, a estratégia encontrada
nos trabalhos mencionados é mais elaborada do que a aqui proposta, baseando-se a
primeira no algoritmo desenvolvido por Gupta et al. [52]. O padrão de comunicahyphen.alt
ções e o faseamento da eliminação de fronteiras com o referido algoritmo é ilustrado
na Figura 6.5 para um exemplo com uma partição de 16 sub-domínios. Para a utilihyphen.alt
zação deste último é forçoso que o número de sub-domínios, nSD, possa ser expresso
por uma potência de base dois,
nSD = 2p , p ∈N+ (6.8)
A opinião expressa em [67] enfatizando a complexidade e a necessidade de uma
implementação cuidadosa da operação de junção de subdomínios para garantir uma
boa escalabilidade, aquando da resolução de sistemas de grandes dimensões e/ou com
um elevado número de subdomínios, reforça o comentário anterior. Adicionalmente,
os mesmos autores reportam ainda que numa fase inicial do desenvolvimento do seu
algoritmo [68], não tendo recorrido ao método de Gupta et al. [52], o desempenho
foi significativamente menos satisfatório quando comparado com o do algoritmo
desenvolvido posteriormente, no qual este último foi contemplado.
6.3. RESOLUÇÃO DO SISTEMA GOVERNATIVO GLOBAL 121
Legenda:
comunicação
processador /
sub-domínio
(a) (b) (c)
(d) (e)
Figura 6.5: Padrão de comunicações e o faseamento da eliminação de fronteiras com
o método de Gupta et al. [52]
6.3.3 Algoritmo PSPASES
No seguimento da secção anterior, e por forma a optimizar a implementação paralela
do modelo proposto, torna-se patente a necessidade de dispor de um algoritmo de
alto desempenho para a resolução de sistemas de equações em paralelo.
A sofisticação inerente ao desenvolvimento do mesmo implica um trabalho árduo e
moroso. Tendo em consideração o estado da arte dos softwares já disponíveis para
o efeito [5], [62], [75], [113], optou-se por tirar partido destes com a sua inclusão no
código desenvolvido neste trabalho, em detrimento da concepção de um novo.
A pesquisa do software a adoptar resultou na escolha do código denominado PSPAhyphen.alt
SES (o acrónimo de Parallel SPArse Symmetric dirEct Solver) [62]. As principais
razões para esta escolha relacionam-se com o facto de consistir num software de cóhyphen.alt
digo aberto, desenvolvido em linguagem C e Fortran e utilizando a interface MPI, as
mesmas utilizadas no código em desenvolvimento. Mais ainda, a fácil transposição
dos dados entre os formatos requeridos por ambos os códigos, permite a sua fácil
inclusão no código já existente.
O algoritmo paralelo do PSPASES baseia-se na resolução directa do sistema de
equações (6.2) através de uma decomposição de Choleski; por conseguinte, e ao
contrário dos restantes métodos, a matriz inicial é factorizada como um todo [51],
122 CAPÍTULO 6. PROCESSAMENTO PARALELO
não sendo, consequentemente, englobado na classe dos métodos de decomposição de
domínio.
Para a factorização da matriz do sistema, o algoritmo é estruturado em três etapas
sucessivas, correspondentes a três rotinas distintas: (i) reordenação da matriz de
modo a reduzir o aparecimento de novos termos não nulos na matriz factorizada,
(ii) factorização simbólica e (iii) factorização numérica. Uma última rotina complehyphen.alt
mentar procede à obtenção da solução através da usual operação de substituição
directa, seguida de retrosubstituição.
Para recorrer às rotinas do código PSPASES é necessário que a matriz, A, do sishyphen.alt
tema (6.2) seja particionada em blocos de linhas consecutivas, sendo cada um destes
blocos armazenado por um processador distinto. Adicionalmente, o número de blohyphen.alt
cos tem de corresponder ao número total de processadores envolvidos na resolução
do sistema (os Slaves), sendo imprescindível que este número possa ser expresso por
uma potência de base dois, à semelhança da condição (6.8). O armazenamento de
cada bloco é realizado de uma forma compacta através do formato CRS (Compreshyphen.alt
sed Row Storage) não tirando partido da simetria da matriz [62]. De modo análogo,
o vector do termo independente, R, é também ele particionado por conjuntos de
linhas e distribuído pelos diversos Slaves.
Conforme referido anteriormente, a utilização do algoritmo PSPASES é combinada
com a utilização de uma partição de domínio com sobreposição de elementos, ilushyphen.alt
trada na Figura 6.1(b). A vantagem desta abordagem reflecte-se na capacidade de
proceder à montagem, partição por linhas e armazenamento do sistema governativo,
sem a necessidade de se efectuarem comunicações entre os diversos processadores.
6.3.4 Método FETI
O método FETI, actualmente também denominado por one-level FETI, surgiu no
início da década de 90 [39], [44]. Trata-se de um método de decomposição de domínio
híbrido uma vez que combina, na resolução do sistema (6.2), a utilização de um
método de resolução directo com um iterativo. Este era também inovador, na altura
do seu aparecimento, quanto ao modo como processa a condensação dos graus de
liberdade locais dos sub-domínios.
O grande interesse suscitado por este método é bem patente no elevado número de
6.3. RESOLUÇÃO DO SISTEMA GOVERNATIVO GLOBAL 123
publicações científicas versando este assunto, registadas nos últimos anos, bem como
no aparecimento de diversas variantes desenvolvidas com base no método original,
nomeadamente e a título de exemplo: o (algebric) A-FETI [108], o two-level FETI
[40],[43], o FETI-DP (dual-primal) [42] e o (total) T-FETI [36].
A presente descrição do método FETI é efectuada com base na sua versão original
(one-level FETI), e assenta em princípios de programação matemática, à semelhança
da abordagem adoptada para a dedução do modelo proposto.
Tenha-se em consideração que a matriz, A, do sistema de equações (6.2) é definida
positiva. Atendendo a este facto, o mesmo sistema de equações traduz as condições
de optimalidade do seguinte problema de programação quadrática sem restrições,
Min 12qTAq−qTR (6.9)
Considere-se agora que o domínio se encontra particionado em nSD sub-domínios.
Nesta partição, admita-se uma redundância de nós com as mesmas coordenadas
por forma a não existirem nós partilhados pelos mesmos sub-domínios, conforme
ilustrado na Figura 6.6(b). Com base nos pressupostos anteriores, o problema (6.9)
é reescrito da seguinte forma:
Min 12qTAq−qTR (6.10a)
sujeito a: Bq = 0 (6.10b)
onde,
q =





q1
q2
...
qnSD





; R =





R1
R2
...
RnSD





; A =




A1
A2
...
AnSD




(6.11a-c)
em que os sub-vectores qi e Ri e a sub-matriz Ai agrupam as respectivas contribuihyphen.alt
ções do sub-domínio i. A restrição (6.10b) estabelece a condição de compatibilidade
nas fronteiras de sub-domínios adjacentes, através do operador “booleano“,
B =
bracketleftBig
B1 B2 ··· BnSD
bracketrightBig
(6.12)
124 CAPÍTULO 6. PROCESSAMENTO PARALELO
A estrutura deste operador é constituída unicamente por valores 0 ou ±1, sendo que
a sua definição não é única [125]. Em particular, no caso de nós na intersecção de
mais de dois subdomínios (e.g. o nó n da Figura 6.6) existe a alternativa de impor
a compatibilidade com ou sem redundância, resultando, respectivamente, e para o
exemplo utilizado, nas definições alternativas (6.13a) e (6.13b). Já no caso de nós
partilhados apenas por dois subdomínios (e.g. o nó m da Figura 6.6), as alternativas
são apenas duas, sendo estas simétricas entre elas.
Neste trabalho, optou-se pela utilização de um operador não redundante, sendo que
esta opção conduz a um problema de interface de menores dimensões. Contudo, a alhyphen.alt
ternativa de utilizar um operador redundante pode por vezes acelerar a convergência
do método FETI[108], encontrando-se uma explicação para este facto em [107].
(a) (b)
n
m
qin
qkn
qjn
qim
qjm
µF
Ω
Ωi
Ωj
Ωk
Figura 6.6: Partição do domínio pelo método FETI
B{m,n}q{m,n} =




+1 0 -1 0 0
0 +1 0 -1 0
0 0 0 +1 -1
0 +1 0 0 -1









qim
qin
qjm
qjn
qkn





= 0 (6.13a)
B{m,n}q{m,n} =


-1 0 +1 0 0
0 +1 0 -1 0
0 +1 0 0 -1








qim
qin
qjm
qjn
qkn






= 0 (6.13b)
6.3. RESOLUÇÃO DO SISTEMA GOVERNATIVO GLOBAL 125
Introduzindo agoraa restrição de compatibilidade (6.10b) na função objectivo (6.10a),
através dos multiplicadores de Lagrange, µF, resulta a seguinte função Lagrangeana,
L(q,µF) = 12qTAq−qTR+µTFBq (6.14)
cuja minimização conduz a um problema de ponto sela, equivalente ao sistema de
equações (6.2), bracketleftBigg
A BT
B ·
bracketrightBiggbraceleftBigg
q
µF
bracerightBigg
=
braceleftBigg
R
·
bracerightBigg
(6.15)
Da primeira equação do sistema (6.15), tem-se para cada subdomínio:
Aiqi = Ri −BTi µF (6.16)
Observe-se que a equação (6.16) só tem solução no caso de se verificar que o termo
independente, (Ri −BTi µF), é dado por uma combinação linear das colunas da
sub-matriz, Ai. Dito de outro modo, o termo independente não pode ter nenhuma
componente no espaço nulo, N(Ai), da sub-matriz, Ai,
parenleftbigR
i −BTi µF
parenrightbig⊥N(A
i) (6.17)
Desta condição resulta ainda que,
RTi parenleftbigRi −BTi µFparenrightbig = 0 (6.18)
onde a sub-matriz, Ri, agrupa os elementos de uma base do espaço nulo, N(Ai).
Repare-se agora que a solução da equação (6.16), em relação às variáveis primais q,
pode ser escrita da seguinte forma,
qi = A+i parenleftbigRi −BTi µFparenrightbig+Riαi (6.19)
sendo que a sub-matriz, A+i simboliza a pseudo-inversa [106] de Ai, definida por2,
AiA+i Ai = Ai (6.20)
2Esta definição não garante uma unicidade para expressão da matriz pseudo-inversa. Todavia,
este facto é irrelevante para a utilização do presente método.
126 CAPÍTULO 6. PROCESSAMENTO PARALELO
Com efeito, no caso particular em que a sub-matriz Ai é não-singular, a pseudo-in-
versa é por definição a matriz inversa, A+i = A−1i , e a base do espaço nulo, Ri,
resulta no vector nulo. Na expressão (6.19), o vector αi representa uma incógnita
adicional para o problema, definindo uma combinação linear das colunas de Ri.
Da combinação de (6.15), (6.18) e (6.19) resulta, por fim, o problema da interface
do método FETI,
bracketleftBigg
FI −GI
−GTI ·
bracketrightBiggbraceleftBigg
µF
α
bracerightBigg
=
braceleftBigg
dI
−e
bracerightBigg
(6.21)
onde,
FI =
nSDsummationdisplay
i=1
BA+BT (6.22a)
GI = bracketleftbigB1R1 ··· BnSDFRnSDFbracketrightbig (6.22b)
α = bracketleftbigα1 ··· αnSDFbracketrightbigT (6.22c)
dI =
nSDsummationdisplay
i=1
BA+R (6.22d)
e = bracketleftbigRTR1 ··· RTRnSDFbracketrightbigT (6.22e)
Nas definições de (6.22), nSDF representa o número de sub-domínios nos quais a reshyphen.alt
pectiva sub-matriz Ai é singular (nSDF < nSD). Estes sub-domínios são usualmente
denominados de flutuantes.
O cálculo explícito da matriz FI representa um esforço computacional considerável,
tornando impraticável a sua montagem e por conseguinte a aplicação de um método
directo para a resolução de (6.21). Dever-se-á optar, deste modo, por um método
iterativo. O método do Gradiente Conjugado é um deste métodos iterativos de
resolução, cuja utilização se encontra muito difundida por ser considerado, para a
classe de matrizes simétricas e definidas positivas, um dos melhores [109]. Contudo,
no presente caso, a aplicação imediata do método do Gradiente Conjugado revela-se
inadequada porquanto a matriz do sistema (6.21) é indefinida. Esta limitação é
contornada impondo a priori o cumprimento da condição de equilíbrio (6.18). Para
tal, µF, é expresso do seguinte modo:
µF = µ0 +P µF (6.23)
6.3. RESOLUÇÃO DO SISTEMA GOVERNATIVO GLOBAL 127
considerando,
µ0 = GIparenleftbigGTI GI)−1e (6.24a)
P =
parenleftBig
I −GIparenleftbigGTI GIparenrightbig−1GTI
parenrightBig
(6.24b)
Nas definições anteriores, I representa a matriz identidade, e µF é uma nova incóghyphen.alt
nita.
Atendendo a que
GTI P = 0 (6.25)
procede-se à pré-multiplicação da primeira equação do sistema (6.21) pela matrizPT
e introduz-se a definição (6.23). O resultado é um derradeiro sistema de equações,
cuja matriz é semi-definida positiva e, por conseguinte, adequada para a aplicação
do método do Gradiente Conjugado,
PTFIP µF = PT(dI −FIµ0) (6.26)
Uma vez conhecido o valor do vector, µF, o valor das variáveis da interface podem
ser calculados. Assim, o valor de µF é determinado a partir da expressão (6.23),
sendo o valor do vector α obtido através da seguinte expressão:
α = parenleftbigGTI GIparenrightbig−1GTI (FIµF −dI) (6.27)
6.3.4.1 Interpretação do significado físico
A descrição do método FETI foi realizada recorrendo a uma fundamentação excluhyphen.alt
sivamente matemática, podendo ser, de um ponto de vista conceptual, utilizado na
resolução de qualquer sistema de equações com as características de (6.2). Todavia,
torna-se interessante efectuar uma interpretação do significado físico das grandezas
envolvidas e de algumas das condições estabelecidas quando o FETI é aplicado à
resolução do sistema governativo de um problema mecânico resultante do MEF.
Para proceder a esta análise, convém começar por tornar explícito que os multiplihyphen.alt
cadores de Lagrange, µF, representam, de um ponto de vista físico, os par acção-rehyphen.alt
acção das forças nodais de ligação entre dois sub-domínios adjacentes.
128 CAPÍTULO 6. PROCESSAMENTO PARALELO
Analise-se agora o aspecto relacionado com a eventual singularidade de Ai. Facilhyphen.alt
mente se constata que esta singularidade ocorre quando o sub-domínio i tem um
número de condições de apoio deficiente, resultando numa sub-estrutura dita hihyphen.alt
poestática. Consequentemente, os vectores das colunas de Ri, a base do espaço
nulo, configuram os modos de corpo rígido relativamente ao i−ésimo sub-domínio.
Estes podem ser no máximo 6, para o caso de problemas 3D: 3 translações e 3 rotahyphen.alt
ções. Este facto serve também de justificação para a atribuição da denominação de
flutuantes a estes sub-domínios.
Observe-se ainda que a condição (6.18) garante que a distribuição de forças nodais
em questão, (Ri −BTi µF), é auto-equilibrada, ao impor que as forças não produzam
trabalho sobre um campo de deslocamentos de corpo rígido. Efectivamente, esta
condição é equivalente a garantir que o somatório de forças e de momentos num
qualquer ponto é sempre nulo, sendo esta, como é de conhecimento geral, uma
condição indispensável para a existência de uma solução estática equilibrada.
Por fim, refere-se que o sistema de equações (6.21) pode ser interpretado como o dual
do problema complementar de Schur (6.5), correspondente ao problema de interface
resultante do método de subestruturação. Com efeito, o problema de interface do
método FETI estabelece uma relação de compatibilidade entre as forças aplicadas,
µF, e os deslocamentos ocorridos (termo da direita),
FIµF = dI +GIα (6.28)
6.3.4.2 Pormenores da implementação do método
São agora discutidos alguns detalhes da implementação do método FETI, realizada
neste trabalho.
O primeiro aspecto abordado prende-se com a determinação da pseudo-inversa e
das configurações de corpo rígido para os sub-domínios flutuantes. Este processo é
realizado individualmente por cada Slave, para o respectivo sub-domínio. Para tal,
o algoritmo de Cholesky é modificado [44] de modo a que, sempre que é encontrado
um pivot nulo durante a factorização, suponhamos, na coluna n:
i. é adicionada, a uma matriz de termos independentes auxiliar, uma nova coluna
composta pelos os valores, [−Ai 1,n,··· ,−Ai n−1,n,1,0,··· ,0]T;
6.3. RESOLUÇÃO DO SISTEMA GOVERNATIVO GLOBAL 129
ii. todos os termos da linha e da coluna, n, são substituídos pelo valor 0;
iii. a entrada do pivot nulo, Ai n,n, é substituída pelo valor 1;
iv. prossegue-se com processo de factorização habitual.
A utilização da factorização descrita conduz à solução da matriz pseudo-inversa.
Por sua vez, o número de pivots nulos identificados corresponde ao número de mohyphen.alt
vimentos de corpo rígido possíveis. A sub-matriz Ri é obtida através da aplicação
do habitual processo de substituição directa combinado com retrosubstituição ao
termo independente auxiliar. Salienta-se que o custo computacional destas opehyphen.alt
rações é praticamente equivalente ao da factorização de uma matriz não-singular.
Embora bastante expedito e computacionalmente pouco oneroso, o procedimento
descrito revela, todavia, ter um ponto muito vulnerável [41]: a dificuldade de eshyphen.alt
tabelecer uma tolerância que estipule um zero numérico para identificar os pivots
nulos. Para contornar esta limitação, Dostal et al. [36] sugerem uma variante denohyphen.alt
minada T-FETI, na qual todos os sub-domínios são considerados como flutuantes
sem quaisquer apoios exteriores. Esta medida obvia a necessidade de determinar nuhyphen.alt
mericamente o número e configuração dos modos dos movimentos de corpo rígido.
No entanto, a implementação desta variante não foi testada neste trabalho.
No que respeita aos blocos da matriz do sistema governativo (6.21), nomeadamente,
as matrizes FI e GI , estas não são calculadas explicitamente. Sempre que é nehyphen.alt
cessário proceder a um produto matricial que as envolva, este é obtido através de
produtos parciais com base na definição das suas expressões (6.22), o qual é realihyphen.alt
zado localmente pelos respectivos Slaves. Analogamente, as operações envolvendo a
matriz booleana, B, são realizadas através de uma rotina computacional com base
na estrutura topológica dos dados, a qual permite saber quais são os sub-domínios
que partilham um determinado nó.
No que respeita ao algoritmo do Gradiente Conjugado para a resolução do problema
(6.26), a sua execução fica a cargo do processo Master, o qual incumbe os Slaves de
procederem aos produtos matriciais necessários. A única excepção envolve a matrizparenleftbig
GTI GIparenrightbig. Os termos desta matriz são cálculados explicitamente pelos Slaves, sendo
por sua vez armazenados pelo Master, que procede à respectiva factorização.
Por último, refere-se que, com o objectivo de melhorar o desempenho global da
implementação do modelo numérico, com base no método de FETI, estabelece-se
130 CAPÍTULO 6. PROCESSAMENTO PARALELO
que, durante o processo iterativo de Uzawa, a resolução do sistema governativo
global possa ser realizada de modo inexacto. Para tal, limita-se o número máximo
das iterações realizadas pelo algoritmo do Gradiente Conjugado na resolução do
problema (6.26). Este número é aferido com base numa percentagem (10 a 20%)
das iterações necessárias para determinar, de modo exacto, o coeficiente β definido
pela expressão (4.67b).
Capítulo 7
Aplicações Numéricas
Neste capítulo são apresentados alguns exemplos numéricos demonstrativos do dehyphen.alt
sempenho e das capacidades dos modelos desenvolvidos e a subsequente análise
crítica dos resultados.
O primeiro problema estudado consiste numa chapa fina com um furo circular cenhyphen.alt
tral submetida a carregamentos uni- e bi-axiais. Este é um exemplo clássico de
validação que foi analisado por diversos autores recorrendo a diversas metodologias
[45], [49], [53], [54], [77], [124]. Com base neste problema, foi realizado um conjunto
de simulações utilizando diversas malhas, com os diferentes tipos de elementos prohyphen.alt
postos neste trabalho, de forma a analisar o comportamento do modelo e validar as
soluções obtidas.
Ainda com o intuito de caracterizar o comportamento do modelo, segue-se a análise
de problemas de capacidade de carga de fundações superficiais rígidas com diverhyphen.alt
sas geometrias, designadamente, de forma circular, quadrada e rectangular. Este
tipo de problemas apresenta uma dificuldade numérica apreciável originada pelos
seus mecanismos de colapso complexos, com fortes singularidades na ligação entre
a extremidade da sapata rígida e o solo. Paralelamente, a região de colapso tende
a aumentar significativamente com o aumento do valor do ângulo de atrito do solo,
φ, conduzindo à necessidade de utilizar, para estes casos, modelos de elementos fihyphen.alt
nitos com grande extensão geométrica. Este facto é evidenciado para o caso das
sapatas de geometria circular onde o aumento da capacidade de carga é correlaciohyphen.alt
nado com o aumento do ângulo de atrito do solo, permitindo, desta forma, ilustrar
131
132 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
o comportamento do modelo quando aplicado a materiais friccionais em contraste
com o dos materiais puramente coesivos. Todos os factos enunciados dificultam a
obtenção de cargas de colapso precisas para este tipo de problemas. Esta classe de
problemas é igualmente utilizada para avaliar o desempenho das implementações
paralelas propostas.
Por último, recorre-se à ferramenta de cálculo desenvolvida para analisar a capahyphen.alt
cidade resistente de ligações de perfis metálicos tubulares. De acordo com Lee e
Wilmshurst [73], o comportamento estrutural deste tipo de ligações, mesmo aquelas
que apresentam uma configuração espacial simples, é complexo e de difícil análise.
A validação das soluções numéricas obtidas realiza-se através do confronto com rehyphen.alt
sultados de ensaios experimentais relatados por outros autores. A anteceder a aprehyphen.alt
sentação destes exemplos, tecem-se algumas considerações sobre a adequabilidade
da aplicação da Análise Limite na modelação deste tipo de ligações.
Todos os cálculos apresentados neste capítulo foram efectuados num cluster de quahyphen.alt
tro nós constituido por Servidores HP ProLiant. Três destas máquinas encontram-se
equipadas com dois microprocessadores Intel Quad-Core Xeon L5335 e a quarta com
dois Intel Quad-Core Xeon E5405; sendo ambos os modelos caracterizados por uma
velocidade de relógio de 2.00GHz.Todas as máquinas possuem uma memória de 16Gb
e duas placas de rede Ethernet de 1Gbit/s. Acrescente-se ainda que as máquinas se
encontram interligadas através de uma rede gigabit dedicada. O ambiente do cluster
é suportado pelo sistema operativo Linux (kernel 2.6.25).
7.1 Chapa com furo circular
Neste primeiro exemplo considerou-se uma chapa quadrada fina com um furo circular
central, representada na Figura 7.1. Esta é constituída por um material regido
pelo critério de cedência de von Mises e encontra-se traccionada nas faces laterais.
Pretende-se determinar o valor da carga, p, correspondente à situação de colapso
para três combinações de cargas distintas, definidas pelos coeficientes α de 1, 12 e 0,
respectivamente.
Atendendo às propriedades de simetria da estrutura e carregamento foi modelado
apenas um quarto da placa.
7.1. CHAPA COM FURO CIRCULAR 133
p
αp
2L
2L
L
5
Figura 7.1: Chapa com furo circular
7.1.1 Análise com elementos 2D
As características acima enunciadas permitem considerar este como um problema de
estados planos de tensão (EPT). Deste modo e numa primeira fase, foram utilizados
elementos 2D para discretizar e analisar a estrutura. Para tal, consideraram-se 4 mahyphen.alt
lhas distintas, representadas na Figura 7.2, tendo estas, como denominador comum,
um número de graus de liberdade (NGL) semelhante, para as variáveis globais. As
Malhas 1 e 2 foram geradas recorrendo ao arranjo de elementos descrito na secção
4.2.3.2, onde cada conjunto de 4 triângulos forma um quadrilátero, sendo as Malhas
3 e 4 não estruturadas. Na Tabela 7.1 encontram-se discriminadas as principais
características das diferentes malhas utilizadas, designadamente, o tipo e número
de elementos associado a cada malha, bem como o número de graus de liberdade
globais e locais correspondentes. Nesta tabela é ainda apresentada, de modo adihyphen.alt
mensional, o valor obtido para a carga de colapso, pu, para as três combinações de
carga analisadas.
A análise dos valores obtidos evidencia que as diferentes malhas produzem resultahyphen.alt
dos muito semelhantes, revelando, conforme seria de esperar numa análise EPT uma
ausência de fenómenos de locking. Além disso, fica também patente nos resultados
a boa capacidade do modelo para obter bons mecanismo de colapso, independentehyphen.alt
mente da orientação dos elementos na malha.
Por forma a aferir a qualidade dos resultados obtidos, são apresentados na Tabela 7.2
134 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
Malha 1 Malha 2
Malha 3 Malha 4
Figura 7.2: Discretização da chapa com furo circular com elementos 2D
Tabela 7.1: Análise 2D da chapa com furo circular: características das malhas e
cargas de colapso (pu)
Malha Tipo de Número de NGL pu/(
√3k)
elementos elementos globais locais α = 1 α = 1/2 α = 0
1 linear 3200 3280 6400 0.898 0.914 0.803
2 linear 3136 3204 6272 0.898 0.916 0.806
3 linear 3208 3296 6416 0.898 0.915 0.808
4 quadrático 766 3152 4596 0.898 0.915 0.805
valores para a carga de colapso determinados por outros autores recorrendo a difehyphen.alt
rentes métodos. Na última linha desta tabela são ainda resumidos os valores das
melhores aproximações para a carga de colapso, obtidas neste trabalho com elemenhyphen.alt
7.1. CHAPA COM FURO CIRCULAR 135
Dissipação Plástica Mecanismo de Colapso
Caso de carga α = 1
Caso de carga α = 12
Caso de carga α = 0
0 máx
Figura 7.3: Resultados obtidos para a Malha 1
136 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
tos 2D. A confrontação dos diferentes resultados comprova a elevada precisão dos
últimos, já que o erro entre a solução obtida e o único valor exacto conhecido (corhyphen.alt
respondente ao caso de α = 0) não excede os 0.38%. Por sua vez, a comparação
dos valores dos minorantes da carga de colapso com majorante determinado pela
presente formulação apresenta uma boa concordância. Convém esclarecer que a rahyphen.alt
zão pela qual os valores dos minorantes da carga de colapso apresentados por Liu
et al. [77] nos casos de α negationslash= 0 excedem os majorantes calculados deve-se ao facto
do modelo utilizado por estes autores ser uma formulação fraca. De resto, um fenóhyphen.alt
meno análogo pode também ser observado nos valores de Tin-Loi e Ngo[124], onde
a estimativa do limite inferior da carga de colapso para caso de α = 0 excede o valor
exacto.
Tabela 7.2: Cargas de colapso para o problema da chapa com furo circular obtidas
por diferentes métodos
Métodos Autores pu/(
√3k)
α = 1 α = 1/2 α = 0
Exacto Gaydon & McCrum [45] - - 0.800
Incremental INTES [54] 0.904 - -
Limite inferior
Gaydon & McCrum [45] 0.894 - -
Groß-Weege [49] 0.882 0.891 0.782
Tin-Loi & Ngo [124] 0.845 0.912 0.803
Liu et al. [77] 0.903 0.915 0.795
Limite superior Presente trabalho 0.898 0.914 0.803
Na Figura 7.3 estão representadas a distribuição da dissipação plástica nos elementos
e a configuração do mecanismo de colapso obtido com a Malha 1, para os três casos
de carga analisados. Adicionalmente e para α = 0, é representada a tracejado a linha
de rotura correspondente à solução exacta apresentada por Gaydon e McCrum [45],
a qual forma com a direcção horizontal um ângulo de ≈ 35.26◦. É notório observar
que a distribuição da dissipação plástica obtida segue a mesma orientação da solução
descontínua [45].
No que respeita aos tempos de execução dos cálculos 2D, pode-se afirmar que estes
são poucos significativos, variando, em computação sequencial, entre 34s e 1m 39s.
7.1. CHAPA COM FURO CIRCULAR 137
7.1.2 Análise com elementos 3D
O mesmo problema é agora analisado através de elementos 3D. São considerados
dois tipos de malhas distintos, representados na Figura 7.4. O primeiro tipo de
malha, doravante denominado de bloco-estruturado, é constituído por uma malha
base de elementos hexaédricos os quais são subdivididos em 24 tetraedros, conforme
descrito na secção 4.2.3.2. O segundo consiste numa malha não estruturada. Grosso
modo, procura-se que as malhas sejam constituídas por elementos de iguais dimenhyphen.alt
sões, sendo considerados diferentes graus de refinamento dos elementos. As análises
efectuadas utilizam não só elementos lineares mas também quadráticos, de forma a
permitir a comparação do desempenho de ambos.
De modo a garantir a não singularidade da matriz do sistema governativo do prohyphen.alt
blema de minimização global, foi impedido o deslocamento na direcção transversal
à placa, num ponto arbitrário da malha.
(a) Malha bloco-estruturada (b) Malha não estruturada
Figura 7.4: Tipos de malhas utilizadas na análise 3D
A Tabela 7.3 compila informação respeitante à utilização de elementos lineares.
Para cada discretização é indicado o tipo de malha utilizado, o número total de
elementos bem como o número de graus de liberdade a estes associados. São ainda
apresentados os valores adimensionados das cargas de colapso, para os diferentes
casos de carga estudados. As constatações que advêm da análise desta tabela são
essencialmente duas: a relação directa entre o aumento do grau de refinamento das
malhas e a qualidade dos resultados, e a supremacia das malhas bloco-estruturahyphen.alt
das em detrimento das não estruturadas. Este último facto encontra justificação
em problemas de locking resultantes da imposição da condição de normalidade do
escoamento plástico no modelo numérico, conforme foi mencionado anteriormente.
Assim, é possível constatar que a utilização de malhas bloco-estruturadas, embora
138 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
não permita oferecer garantias de eliminar o aparecimento de locking, releva uma
boa capacidade de mitigar os seus efeitos, a julgar pela qualidade dos resultados.
Considera-se também importante realçar o elevado número de graus de liberdade
habitualmente envolvidos numa análise. Efectivamente, e após comparação dos prehyphen.alt
sentes resultados com os valores da Tabela 7.1, verifica-se que, para obter resultados
de um grau de precisão análogo, foi necessário recorrer a mais de 17 e 30 vezes o
número de graus de liberdade globais e locais, respectivamente, do que os utilizados
na análise 2D.
Tabela 7.3: Resumo das análises para o problema da chapa com furo circular efechyphen.alt
tuadas com elementos lineares
Tipo de malha Número de NGL pu/(
√3k)
elementos globais locais α = 1 α = 1/2 α = 0
bloco-estruturado 8400 7594 25200 0.902 0.926 0.838
bloco-estruturado 14400 12922 43200 0.900 0.924 0.825
bloco-estruturado 28200 25117 84600 0.898 0.920 0.811
bloco-estruturado 65856 58267 197568 0.898 0.916 0.809
não estruturado 7861 8010 23583 0.965 1.032 0.862
não estruturado 26266 26692 78798 0.960 0.998 0.841
Procede-se agora à análise do problema recorrendo a elementos quadráticos, enconhyphen.alt
trando-se sumarizada na Tabela 7.4 a informação respeitante à caracterização das
malhas e aos resultados obtidos. A disparidade notória dos valores de carga de cohyphen.alt
lapso obtidos para ambos os tipos de malha, bem patente na Tabela 7.3, foi agora
colmatada mediante a utilização destes novos elementos. Efectivamente, mesmo as
malhas não estruturadas com elementos quadráticos conduzem agora a valores de
carga de colapso de elevada precisão. A utilização de elementos quadráticos revestehyphen.alt
-se, consequentemente, de particular importância a nível da minimização/eliminação
de problemas de locking.
Nos gráficos das Figuras 7.5, 7.6 e 7.7 encontra-se representada a convergência das
soluções em função tanto do número de graus de liberdade globais bem como dos
locais, para os elementos lineares e quadráticos, justapondo-se informação contida
nas Tabelas 7.3 e 7.4. Nestes gráficos são ainda representados os melhores limites
inferiores conhecidos para a carga de colapso ou o valor da solução exacta, quando
existente.
7.1. CHAPA COM FURO CIRCULAR 139
 
 
1 2 3 44 5 6
0.894
0.896
0.898
0.9
0.902
0.904
8 12 16 20
0.805
NGL globais (×104) NGL locais (×104)
Pu
/(√
3k
)
linear
quadrático
limite inferior [45]
bloco-estruturada
não estruturada
Figura 7.5: Resultados para o caso de carga α = 1
 
 
1 2 3 44 5 6
0.898
8 12 16 200.91
0.915
0.92
0.925
0.93
0.935
NGL globais (×104) NGL locais (×104)
Pu
/(√
3k
)
linear
quadrático
limite inferior [124]
bloco-estruturada
não estruturada
Figura 7.6: Resultados para o caso de carga α = 12
 
 
1 2 3 44 5 6 8 12 16 200.795
0.8
0.805
0.81
0.815
0.82
0.825
0.83
0.835
NGL globais (×104) NGL locais (×104)
Pu
/(√
3k
)
linear
quadrático
valor exacto [45]
bloco-estruturada
não estruturada
Figura 7.7: Resultados para o caso de carga α = 0
140 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
Tabela 7.4: Resumo das análises para o problema da chapa com furo circular efechyphen.alt
tuadas com elementos quadráticos
Tipo de malha Número de NGL pu/(
√3k)
elementos globais locais α = 1 α = 1/2 α = 0
bloco-estruturado 984 5458 11808 0.909 0.934 0.827
bloco-estruturado 1536 8436 18432 0.903 0.927 0.819
bloco-estruturado 2064 11278 24768 0.901 0.922 0.814
bloco-estruturado 4488 24184 53856 0.899 0.918 0.809
bloco-estruturado 8400 44912 100800 0.899 0.916 0.806
não estruturado 573 3619 6876 0.905 0.935 0.826
não estruturado 960 6004 11520 0.902 0.931 0.818
não estruturado 1526 9490 18312 0.900 0.923 0.814
não estruturado 2769 17023 33228 0.899 0.919 0.810
não estruturado 4484 26806 53808 0.899 0.919 0.808
não estruturado 7861 47488 94332 0.897 0.914 0.805
Esta representação permite observar, tal como seria de esperar, que o refinamento
das malhas conduz a um melhoramento progressivo e consistente da solução. Conshyphen.alt
tata-se também que a taxa de convergência da solução em relação ao número de
graus de liberdade do problema é mais acentuada para malhas menos refinadas, obhyphen.alt
servando-se um decaimento gradual desta taxa à medida que aumenta a precisão da
solução.
A análise comparativa das três malhas permite concluir que a malha não estrutuhyphen.alt
rada de elementos quadráticos é aquela que apresenta consistentemente os melhores
resultados. Contudo, é de salientar que este comportamento é em grande medida inhyphen.alt
fluenciado pelo facto da geração das malhas bloco-estruturadas requererem um maior
número de elementos ao longo da espessura da placa, como pode ser observado na Fihyphen.alt
gura 7.4. Assim, esta discretização desnecessária de elementos na espessura torna-se
penalizadora em termos dos graus de liberdade utilizados, pelo que, para o presente
caso, a comparação entre o desempenho da utilização de malhas bloco-estruturadas
e as não estruturadas torna-se inconclusiva. Entre as duas malhas bloco-estruturahyphen.alt
das, a composta por elementos quadráticos tem, em regra geral, um desempenho
mais favorável, exceptuando-se o caso da carga correspondente a α = 1.
A representação gráfica do NGL locais em função do NGL globais, Figura 7.8, evihyphen.alt
dencia a maior proporção entre estes para o caso dos elementos lineares. Este facto
7.1. CHAPA COM FURO CIRCULAR 141
 
 
0 1 2 3 4 65 5
10
15
20
25
NGL globais (×104)
NG
L
loc
ais
(×
10
4 ) linear
quadrático
bloco-estruturada
não estruturada
Figura 7.8: Relação entre os graus de liberdade globais e locais
é relevante na medida em que a dimensão do sistema governativo global constitui,
invariavelmente, o factor limitativo à execução dos cálculos devido ao consumo de
memória utilizada para armazenar e executar a fase de factorização do sistema.
Deste modo, é conveniente proporcionar o máximo de riqueza de informação local
nos elementos com o menor custo possível de variáveis globais, sendo os elementos
quadráticos aqueles que melhor cumprem este requisito.
Por forma a ilustrar as soluções obtidas através da análise 3D da placa, apresenta-se,
na Figura 7.9, o padrão da distribuição da dissipação plástica e o respectivo mecahyphen.alt
nismo para o caso de carga correspondente ao parâmetro α = 0. Estes resultam da
análise com a malha mais refinada, não estruturada, de elementos quadráticos. É,
desde logo, notória uma excelente concordância destes resultados com os apresentahyphen.alt
dos anteriormente na Figura 7.3, provenientes da análise 2D. A análise 3D permite
ainda observar no mecanismo de colapso (Figura 7.9-b) o efeito de redução na espeshyphen.alt
sura da placa nas zonas onde a placa sofre um estiramento. Este fenómeno resulta
das características isocóricas do escoamento plástico associadas ao critério de von
Mises.
Na Tabela 7.5 reproduzem-se os tempos de cálculo registados para cada uma das
malhas e para os diferentes casos de carga considerados. É interessante verificar que
estes tempos são afectados, não só pelo número e tipo de elementos das discretihyphen.alt
zações, tal como seria espectável, mas também pelo carregamento. Efectivamente,
142 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
0
máx
(a) Dissipação Plástica
(b) Mecanismo de Colapso
Figura 7.9: Solução 3D para o caso de carga α = 0
verifica-se que o caso de carga correspondente a α = 1/2, consome comparativahyphen.alt
mente aos restantes e de modo significativo, maior tempo de cálculo, seguido pelos
casos de α = 0 e 1, consecutivamente. Este facto ilustra bem que a velocidade de
convergência não está dissociada do problema em estudo.
A conjugação da informação contida na Tabela 7.5 com os dados anteriores, possihyphen.alt
bilita a representação da evolução do valor estimado para a cargas de colapso em
função do tempo de cálculo, conforme ilustrado nos gráficos das Figuras 7.10, 7.11
e 7.12. Destes advém que o desempenho, agora aferido pelo tempo de cálculo, é
bastante equivalente para os diferentes tipos de malha, não se verificando, contrarihyphen.alt
amente ao observado em relação aos NGL, qualquer primazia por parte das malhas
não estruturadas com elementos quadráticos, em relação às restantes.
7.1. CHAPA COM FURO CIRCULAR 143
0 
 
1 2 3 40.896
0.898
0.9
0.902
0.904
0.91
0.908
0.906
0.795
Pu
/(√
3k
)
linear
quadrático
bloco-estruturada
não estruturada
Tempo (min.)
Figura 7.10: Evolução da carga de colapso com tempo de cálculo para α = 1
0 7 
 
1 2 3 4 5 6
0.898
0.915
0.92
0.925
0.93
0.935
Pu
/(√
3k
)
linear
quadrático
bloco-estruturada
não estruturada
Tempo (min.)
Figura 7.11: Evolução da carga de colapso com tempo de cálculo para α = 12
0 
 
1 2 3 4 5 6
0.805
0.81
0.815
0.82
0.825
0.83
0.835
Pu
/(√
3k
)
linear
quadrático
bloco-estruturada
não estruturada
Tempo (min.)
Figura 7.12: Evolução da carga de colapso com tempo de cálculo para α = 0
144 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
Tabela 7.5: Tempos de cálculo das análise 3D
Tipo de Tipo de Número de Tempo de cálculo
malha elemento elementos α = 1 α = 1/2 α = 0
bloco-estruturado linear 8400 13.8s 29.3s 17.0s
bloco-estruturado linear 14400 25.6s 56.6s 35.6s
bloco-estruturado linear 28200 58.6s 2m 07.3s 1m 34.2s
bloco-estruturado linear 65856 3m 14.2s 6m 05.3s 4m 43.0s
bloco-estruturado quadrático 984 12.6s 31.5s 18.7s
bloco-estruturado quadrático 1536 22.6s 42.6s 26.1s
bloco-estruturado quadrático 2064 31.8s 58.4s 33.4s
bloco-estruturado quadrático 4488 1m 27.8s 3m 08.0s 2m 27.3s
bloco-estruturado quadrático 8400 3m 49.2s 7m 28.1s 3m 42.4s
não estruturado quadrático 573 5.8s 9.8s 3.3s
não estruturado quadrático 960 12.9s 19.4s 9.66s
não estruturado quadrático 1526 22.5s 43.6s 24.9s
não estruturado quadrático 2769 53.2s 1m 37.6s 1m 08.7s
não estruturado quadrático 4484 1m 48.9s 3m 15.4s 2m 30.2s
não estruturado quadrático 7861 3m 58.6s 7m 22.1s 5m 39.6s
7.1.2.1 Descontinuidades
Com o objectivo de analisar o efeito da introdução de descontinuidades no modelo,
são agora utilizadas 5 malhas distintas não estruturadas de elementos lineares. Neshyphen.alt
tas malhas base foram introduzidas descontinuidades em todas as fronteiras inter-
-elementares, através das duas estratégias abordadas neste trabalho (secção 4.4.3):
(i) a aplicação da variante Híbrida/Mista da formulação; (ii) a utilização de elemenhyphen.alt
tos degenerados. Para cada uma das referidas estratégias eliminou-se a contribuição
da deformação contínua dos elementos para a formação do mecanismo de colapso,
transformando-os em elementos rígidos. Adicionalmente, previu-se a situação na
qual a parcela da dissipação oriunda da deformação contínua dos elementos foi conhyphen.alt
tabilizada simultaneamente com a parcela da dissipação das descontinuidades.
A Tabela 7.6 apresenta para cada uma das 5 malhas com as respectivas variantes
acima enunciadas, a sua caracterização em termos de número de elementos finihyphen.alt
tos utilizados e de NGL. Ressalva-se que a contabilização do número de elementos
finitos faz-se apenas considerando os elementos deformáveis, ou seja, aqueles que conhyphen.alt
tribuem activamente para a solução. É ainda indicado, através da habitual forma
7.1. CHAPA COM FURO CIRCULAR 145
adimensional utilizada nesta secção, o valor da carga de colapso obtido.
Da análise da Tabela 7.6 salientam-se dois aspectos importantes. O primeiro prende-
-se com o aumento considerável de NGL que resulta da introdução indescriminada de
descontinuidades na discretização. Efectivamente, este aumento cifra-se, respectivahyphen.alt
mente, na ordem das 10 e 6 vezes em relação aos graus de liberdade globais e locais.
Por outro lado, verifica-se que os resultados das soluções obtidas comparativamente
aos resultados das soluções com campos de velocidades contínuos apresentadas na
secção anterior, face aos NGL utilizados, são manifestamente de inferior qualidade.
A justificação para este facto prende-se com a distribuição espacial dos elementos da
malha (não estruturada); efectivamente, o imbricamento das faces não permite defihyphen.alt
nir superfícies de escorregamento orientadas e com continuidade, de modo a formar
um bom mecanismo de colapso. Esta mesma razão justifica as oscilações na converhyphen.alt
gência das soluções com o aumento do refinamento da malha quando se recorre a
elementos rígidos. No caso da utilização de elementos deformáveis, este efeito não
é em regra observado uma vez que é atenuado pela contribuição dos elementos com
deformação contínua.
De modo a reforçar os comentários anteriores, foi construída uma malha de modo
a que os elementos formassem uma superfície preferencial de escorregamento, orienhyphen.alt
tada a 45o com um dos planos de simetria da estrutura, conforme representado na
Figura 7.13(a). Esta malha é constituída por um total de 588 elementos de deforhyphen.alt
mação contínua, número análogo ao da malha mais grosseira listada na Tabela 7.6.
A análise efectuada com esta malha cinge-se apenas à situação de carregamento da
placa traccionada uni-axialmente (α = 0). Conforme expectável, a solução obtida rehyphen.alt
correndo a descontinuidades modeladas quer através da formulação Híbrida/Mista
quer utilizando elementos degenerados coincide, resultando um valor de colapso,
pu/(√3k), igual a 0.9238. Este valor corresponde à solução analítica para o mecahyphen.alt
nismo de colapso baseado na superfície de escorregamento pré-definida. É relevante
referir que a solução exacta obtido por [45], baseada numa linha de rotura orientada
a ≈ 35.26◦ já anteriormente representada a tracejado na Figura 7.3, não é passível
de simulação exacta através das descontinuidades do modelo numérico. De facto,
esta resulta de um fenómeno denominado de necking por Hill [57], resultante de
uma localização da zona plastificada numa região de largura infimamente pequena,
o qual permite que a direcção da velocidade relativa entre as duas superficies não
tenha de coincidir necessariamente com a orientação da superfície de rotura. Para
146 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
o caso particular da solução apresentada, o ângulo que a velocidade relativa e a
linha de rotura formam é de ≈ 19.47◦. Por sua vez, as descontinuidades do modelo
contemplam apenas o escorregamento ao longo da superfície de rotura.
(a) Discretização (b) Mecanismo de colapso
Figura 7.13: Placa com superfície de escorregamento orientada a 45o
A Figura 7.13(b) permite observar que a solução computacional conduz, efectivahyphen.alt
mente, a um mecanismo de colapso que mobiliza apenas as descontinuidades do
referido plano.
Retomando a análise da Tabela 7.6, é possível ainda verificar que a utilização de
descontinuidades, ao introduzir mais graus de liberdade às discretizações, contrihyphen.alt
bui eficazmente para a eliminação de problemas de locking, mesmo em malhas não
estruturadas com elementos lineares, as mais afectadas por este fenómeno. Para
concluir a discussão dos resultados da Tabela 7.6, adverte-se para o facto da qualihyphen.alt
dade dos resultados utilizando elementos degenerados ser ligeiramente superior à dos
obtidos com a variante Híbrida/Mista da formulação. Este facto resulta da majorahyphen.alt
ção da dissipação plástica preconizada para materiais puramente coesivos durante
a etapa de minimização local (secção 5.3.5.2). Note-se que, por este motivo, não
seria observável qualquer diferença entre as soluções acaso da utilização de materiais
friccionais. Adicionalmente, o facto desta discrepância ser pequena pode ser tomado
como indicador de que a majoração adoptada é, efectivamente, eficaz.
Assim, e em jeito de resumo, a introdução arbitrária de descontinuidades conduz
a um crescimento significativo, mas contudo algo ineficiente, do número de graus
de liberdade do problema, repercutindo-se de forma penalizadora nos custos comhyphen.alt
putacionais. Deste modo, advoga-se que a utilização de descontinuidades seja feita
com parcimónia, devendo-se, em regra, introduzir este tipo de elementos apenas em
regiões onde é previsível o aparecimento deste tipo de singularidades no campo das
velocidades.
7.1
.
CH
AP
A
CO
M
FU
RO
CI
RC
UL
AR
14
7
Tabela 7.6: Caracterização e resultados referentes às malhas com elementos de descontinuidade
Malha Tipo de Nr. Elementos NGL pu/(√3k)
base elementos (deformáveis) globais locais α = 1 α = 1/2 α = 0
linear 573 638 1719 0.966 1.121 0.963
rígido + HM - 3438 8334 1.176 1.274 1.198
1 linear HM 573 6650 10053 0.925 0.974 0.865
rígido + degenerado 2778 3438 8334 1.175 1.275 1.196
linear + degenerado 3351 6650 10053 0.924 0.973 0.864
linear 960 1047 2880 0.965 1.119 0.959
rígido + HM - 5760 14058 1.278 1.382 1.145
2 linear HM 960 11250 16938 0.923 0.973 0.848
rígido + degenerado 4686 5760 14058 1.278 1.372 1.144
linear + degenerado 5646 11250 16938 0.922 0.970 0.848
linear 1526 1641 4578 0.944 1.086 0.935
rígido + HM - 9156 22410 1.095 1.111 1.082
3 linear HM 1526 17972 26988 0.919 0.958 0.846
rígido + degenerado 7470 9156 22410 1.094 1.111 1.081
linear + degenerado 8996 17972 26988 0.915 0.940 0.843
linear 2769 2915 8307 0.957 1.096 0.909
rígido + HM - 16614 40968 1.175 1.267 1.101
4 linear HM 2769 32796 49275 0.917 0.953 0.837
rígido + degenerado 13656 16614 40968 1.170 1.264 1.101
linear + degenerado 16425 32796 49275 0.912 0.945 0.833
linear 4484 4510 13452 0.958 1.045 0.903
rígido + HM - 26904 67446 1.017 1.011 1.007
5 linear HM 4484 53280 80898 0.917 0.955 0.840
rígido + degenerado 22482 26904 67446 1.013 1.008 1.006
linear + degenerado 26966 53280 80898 0.909 0.933 0.829
148 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
7.2 Capacidade de carga de fundações superficiais
Desde os trabalhos pioneiros de Terzaghi [122] que é usual exprimir a capacidade
de carga de uma fundação solicitada em condições drenadas através de equações
que decompõem a referida capacidade em três parcelas distintas e cujo efeito da
interacção entre elas é assumido como sendo nulo1:
qu = c′Nc + qNq + 12γBNγ (7.1)
Na expressão anterior, qu é a capacidade de carga da fundação, B é a largura da
menor dimensão da sapata e q é a sobrecarga superficial uniformemente distribuída,
simulando a acção do peso próprio do solo acima ao nível da cota de fundação; c′ e γ
representam, respectivamente, a coesão efectiva e o peso próprio do material de funhyphen.alt
dação. Nc, Nq e Nγ são os coeficientes de capacidade de carga associados a cada uma
das parcelas que contribuem para a capacidade de carga, nomeadamente, o termo
coesivo, o termo de profundidade e o termo resultante do comportamento atrítico do
solo devido à acção do seu peso próprio. De modo a conferir uma característica geral
à equação 7.1 sem entrar em grande detalhe, considera-se, neste trabalho, que os
coeficientes de capacidade de carga englobam também o efeito da forma da sapata.
Assim, estes coeficientes dependem não só do ângulo de atrito do solo, mas também
da geometria da fundação. Demais efeitos como, por exemplo, o da inclinação ou
da excentricidade da carga, resistência do solo acima da cota de fundação, ou da
existência de um estrato rígido não são aqui abordados, correspondendo a expressão
ao caso de um carregamento vertical e centrado.
Quando uma fundação é solicitada pelo mesmo tipo carregamento mas em condições
não drenadas, a expressão (7.1) toma a forma:
qu = cuNc + q (7.2)
em que cu corresponde à resistência ao corte não drenada do solo.
Com a finalidade de complementar a caracterização do modelo desenvolvido e ilushyphen.alt
trar as suas capacidades de cálculo, nos exemplos numéricos seguintes são determinahyphen.alt
1Esta hipótese, que permite a sobreposição dos efeitos, é manifestamente inexacta tendo em
conta as características de não-linearidade do problema. Contudo, é aqui assumida por ser prática
corrente no domínio da Engenharia Civil, estando inclusivamente contemplada no EC7 [25], por
ser considerada capaz de produzir resultados satisfatórios.
7.2. CAPACIDADE DE CARGA DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS 149
das estimativas dos valores dos coeficientes de capacidade de carga para alguns casos
específicos. As condições drenadas são simuladas assumindo o critério de cedência
de Mohr-Coulomb com os parâmetros c e φ iguais às propriedades efectivas do solo,
c′ e φ′. Para situação não drenada adopta-se o critério de Tresca caracterizado por
uma coesão c igual à resistência ao corte não drenada do solo, cu.
7.2.1 Sapata circular
Analisa-se o caso de uma fundação superficial rígida de geometria circular, onde são
desprezados os efeitos do peso próprio do solo e do atrito no contacto solo/estrutura.
No que respeita ao carregamento, considera-se apenas a acção de uma carga vertical
na sapata, q. As condições enunciadas conduzem à determinação do coeficiente Nc.
O critério que presidiu à escolha deste problema em particular baseou-se no facto
de ser conhecida a sua solução exacta, encontrada no trabalho de Cox et al. [34].
Devido às condições de axisimetria do problema foi discretizada apenas uma fatia
de 10o da região em análise, conforme é representado na Figura 7.14. De acordo
com a simplificação efectuada, os deslocamentos nodais nos planos de simetria são
restringidos nas direcções normais aos planos correspondentes. Adicionalmente, são
também impedidos todos os deslocamentos dos nós localizados nos planos lateral e
inferior que delimitam o terreno.
R
L
h
10◦
q
Figura 7.14: Modelo da sapata circular
Este estudo foi conduzido para diferentes ângulos de atrito do material, φ, recorhyphen.alt
rendo à utilização de dois critérios de cedência distintos, consoante as diferentes
situações. Esta informação encontra-se discriminada na Tabela 7.7, juntamente
com os valores dos parâmetros geométricos adoptados. Note-se que as dimensões
da região discretizada variam significativamente em função do ângulo de atrito. Tal
150 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
deve-se ao conhecido aumento progressivo da região mobilizada pelos mecanismos
de colapso com o aumento de ângulo de atrito para este tipo de problemas [28],
conforme referido anteriormente.
Tabela 7.7: Caracterização dos materiais e parâmetros geométricos
φ Material hR × LR
- Tresca 0.750×2.25
10o Mohr-Coulomb 0.875×2.75
20o Mohr-Coulomb 1.190×3.50
30o Mohr-Coulomb 1.625×4.75
40o Mohr-Coulomb 3.125×7.25
A condição de contacto solo/estrutura de escorregamento perfeito foi simulada atrahyphen.alt
vés da introdução de elementos axiais de barra rígidos a estabelecer a ligação entre
os nós dos elementos da sapata e os do solo. Estabeleceu-se ainda que os elemenhyphen.alt
tos da sapata formassem um único corpo rígido. Foram considerados dois tipos
distintos de malhas de elementos finitos, representados na Figura 7.15, sendo, para
cada um deles, testados diferentes níveis de refinamento do número de elementos,
utilizando-se tanto elementos lineares como quadráticos.
Malha bloco-estruturada Malha não estruturada
Figura 7.15: Malhas tipo para a análise da sapata circular
Retoma-se agora o estudo comparativo do desempenho entre elementos lineares e
quadráticos, representando-se no gráfico das Figuras 7.16 a 7.20, a evolução do erro
da solução,
Erro(%) = Nc −N
exacto
c
Nexactoc 100 (7.3)
em função do número do graus de liberdade, para os vários ângulos de atrito estuhyphen.alt
dados.
O comportamento discrepante associado à utilização de elementos lineares com mahyphen.alt
lhas não-estruturadas confirma, desde logo, a inadequabilidade da sua utilização,
7.2. CAPACIDADE DE CARGA DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS 151
devido a apresentarem de acentuados efeitos de locking. É possível também conshyphen.alt
tatar que estes problemas não se restringem a materiais puramente coesivos com
escoamentos plásticos isocóricos, modelados, neste caso, pelo critério de Tresca,
afectando igualmente materiais ditos friccionais, tipificados aqui pelo critério de
Mohr-Coulomb. Por esta razão exclui-se, doravante, o resultado destas malhas de
futuras considerações sobre o comportamento do modelo numérico.
É interessante verificar também que os valores do erro das soluções tendem a auhyphen.alt
mentar com o ângulo de atrito. Na realidade, este facto não se deve a qualquer
dificuldade numérica inerente ao comportamento do material mas sim, ao aumento
da região discretizada e consequente redução na densidade de elementos finitos. Nohyphen.alt
te-se que o número de elementos e consequentemente o NGL utilizado nas diferentes
análises é bastante semelhante independentemente do valor do ângulo de atrito.
A análise destes gráficos revela uma convergência gradual e consistente das soluções
com o aumento dos graus de liberdade. Existe, contudo, uma pequena excepção
observada no gráfico da Figura 7.20, para os resultados da malha não-estruturada
de elementos quadráticos. Embora não tenha sido encontrada nenhuma explicação
considerada definitiva e irrefutável para esta ocorrência, conjectura-se, no entanto,
que possa dever-se à distribuição espacial dos elementos finitos nas diversas malhas.
O confronto das soluções evidencia um desempenho bastante análogo entre os elehyphen.alt
mentos lineares e quadráticos para as malhas bloco-estruturadas. Verifica-se, todahyphen.alt
 
 
2 4 6 8 12 14
5
15
25
35
45
Er
ro
(%
)
NGL globais (×104)
000 10
10
10 20
20
30
30
40
40
NGL locais (×104)
bloco-estruturada
não estruturada
linear
quadrático
Figura 7.16: Evolução do erro da solução para o material Tresca
152 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
 
 
8
000
5
5 10
10
10
15
15 20
20
25
30
30
35
40
40
Er
ro
(%
)
NGL globais (×104) NGL locais (×104)
bloco-estruturada
não estruturada
linear
quadrático
Figura 7.17: Evolução do erro da solução para φ = 10◦
 
 
000
5
5 10
10
10
15
15 20
20
25
30
30
35
40
40
Er
ro
(%
)
NGL globais (×104) NGL locais (×104)
bloco-estruturada
não estruturada
linear
quadrático
Figura 7.18: Evolução do erro da solução para φ = 20◦
7.2. CAPACIDADE DE CARGA DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS 153
 
 
000 5 10
10
10 15 20
20
30
30
40
40
50
60
Er
ro
(%
)
NGL globais (×104) NGL locais (×104)
bloco-estruturada
não estruturada
linear
quadrático
Figura 7.19: Evolução do erro da solução para φ = 30◦
 
 
000 5 10
10
10 15 20
20
30
30
40
40
50
60
70
80
90
Er
ro
(%
)
NGL globais (×104) NGL locais (×104)
bloco-estruturada
não estruturada
linear
quadrático
Figura 7.20: Evolução do erro da solução para φ = 40◦
154 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
via, uma ligeira vantagem na utilização dos elementos quadráticos respeitante aos
NGL locais que se acentua com o aumento do ângulo de atrito. É possível inferir,
também, a não competitividade das malhas não estruturadas face às bloco-estrutuhyphen.alt
radas, estando em regra geral a discrepância entre os melhores valores obtidos por
estes dois tipos de malha situada entre os 3 e 5%. Este valor vê-se aumentado para
os 14% para o caso particular do ângulo de atrito de 40o.
Na Tabela 7.8 apresentam-se os resultados da utilização do algoritmo de melhorahyphen.alt
mento da solução em pós-processamento, descrito na secção 5.5. Para tal, indica-se
o valor atingido para a carga de colapso antes e depois da aplicação do pós-prohyphen.alt
cessamento. Reitera-se a aplicabilidade restrita deste algoritmo aos casos onde se
recorre simultaneamente a elementos quadráticos e materiais puramente coesivos
(neste caso, tipificados pelo critério de Tresca). Neste quadro é ainda indicado o vahyphen.alt
lor percentual da redução da estimativa inicial de colapso. Como se pode comprovar
pelos valores listados, este simples algoritmo produz, de facto, melhorias notórias,
tanto mais relevantes quanto menor a densidade de elementos da malha.
Tabela 7.8: Resultados do pós-processamento da solução
Tipo de Número de Carga de colapso (quc ) redução (%)
malha elementos sem pós-process. com pós-process.
não estruturado 2105 6.2879 6.1875 1.62%
não estruturado 4357 6.2569 6.1577 1.61%
não estruturado 8455 6.1749 6.0993 1.24%
não estruturado 16274 6.1557 6.1032 0.86%
não estruturado 33294 6.1200 6.0589 1.01%
bloco-estruturado 4356 5.9017 5.8805 0.36%
bloco-estruturado 8112 5.8487 5.8332 0.26%
bloco-estruturado 16128 5.7985 5.7875 0.19%
bloco-estruturado 31152 5.7717 5.7629 0.15%
Agora, para as malhas que produziram anteriormente os melhores resultados com
cada ângulo de atrito, é representada no gráfico da Figura 7.21 a evolução da estimahyphen.alt
tiva do valor do coeficiente de capacidade de carga, Nc, com o decorrer do processo
iterativo de Uzawa. Constata-se que o desempenho é fortemente condicionado pelas
propriedades do material, observando-se uma redução na velocidade de convergência
com o aumento do ângulo de atrito. Adoptando uma terminologia usualmente utihyphen.alt
7.2. CAPACIDADE DE CARGA DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS 155
0 500 1000 1500 2000 25005.6
5.65
5.7
5.75
5.8
5.85
Número de iterações
Tresca
9
9.5
10
10.5
11 φ = 10◦
16
18
20
22
24 φ = 20◦
40
45
50
55
60
φ = 30◦
100
130
160
190
220
Nc
φ = 40◦
Figura 7.21: Ilustração da convergência do algoritmo de Uzawa
156 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
lizada para fenómenos oscilatórios, pode-se afirmar que, qualitativamente, todos os
casos representados apresentam um comportamento oscilatório semelhante, no qual
se observa um amortecimento da amplitude da onda com o número de iterações
do algoritmo de Uzawa. Estas oscilações processam-se, grosso modo, em torno da
solução óptima do problema. Verifica-se que o amortecimento tende a diminuir com
o aumento do ângulo de atrito; por outro lado observa-se que o comprimento das
ondas aumenta consideravelmente em função deste parâmetro.
De modo a evidenciar o poder de cálculo decorrente da implementação paralela da
formulação, procede-se de novo ao cálculo dos valores para o coeficiente de capahyphen.alt
cidade de carga Nc, desta feita utilizando malhas com um elevadíssimo grau de
refinamento. Para tal recorreu-se a malhas bloco-estruturadas, com cerca de 400
mil elementos quadráticos. Na tentativa de superar o efeito da singularidade na
solução, provocado pelo bordo da sapata, estas malhas exibem a particularidade de
terem um refinamento de elementos por baixo desta zona. Associado à presente
discretização tem-se, aproximadamente, 1.9 milhões de graus de liberdade globais,
cifrando-se os locais em 5 milhões. Este elevado número de variáveis envolvidas na
discretização do problema inviabiliza a execução dos cálculos num usual computahyphen.alt
dor pessoal, devido primeiramente à quantidade de memória exigida e em segundo
lugar aos, previsivelmente excessivos, tempo de cálculo. Refira-se que estas malhas
resultam de um refinamento p das malhas de elementos lineares, utilizadas em [130].
Os cálculos foram efectuados através da variante da implementação paralela do
algoritmo PSPASES utilizando-se 8 núcleos de processamento (cores), sendo que
um deles partilha em simultâneo as tarefas de Master e de Slave.
Os resultados obtidos encontram-se resumidos na Tabela 7.9. Nesse quadro enconhyphen.alt
tra-se ainda, para cada um dos casos estudados, informação respeitante ao tempo de
cálculo necessário à resolução de cada problema e ao número de Slaves utilizados.
Tendo em conta a dificuldade numérica associada a este tipo de problemas, pode-se
considerar que a precisão dos resultados obtida é bastante apreciável. Para reforçar
este facto, exibem-se no gráfico da Figura 7.22, juntamente com os valores retirados
da Tabela 7.9, outros resultados igualmente obtidos através de métodos numéricos
baseados na Análise Limite. Aí encontram-se, para além das soluções obtidas com
elementos lineares recorrendo à variante da implementação paralela que utiliza o
método da substruturação [130], outros dois conjuntos de soluções provenientes de
7.2. CAPACIDADE DE CARGA DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS 157
Tabela 7.9: Cálculos do coeficiente Nc em paralelo
Material φ Nc Erro (%) Tempo de Número decálculo Slaves
Tresca - 5.703 0.23% 18m 32s 8
Mohr-Coulomb 10o 10.016 0.36% 33m 09s 8
Mohr-Coulomb 20o 20.144 0.22% 44m 15s 8
Mohr-Coulomb 30o 49.505 0.42% 1h 4m 20s 8
Mohr-Coulomb 40o 165.94 1.18% 2h 10m 58s 8
implementações sequenciais. O primeiro baseia-se na utilização da formulação de
limite superior [129], intitulada neste trabalho de inicial (ver secção 4.2) e o último
da análise através de uma formulação de limite inferior, publicado no trabalho de
Lyamin and Sloan [82]. O confronto destes resultados deixa patente um aumento
da precisão dos valores obtidos, resultante do aumento das capacidades de cálculo
devido à utilização da computação paralela.
 
 
10 20 30 40-6
-4
-2
0
0
2
4
6
Ângulo de atrito, φ
Er
ro
da
sol
uç
ão
(%
)
V. Silva e Antão [129]
V. Silva e Antão [130]
presente trabalho
Lyamin e Sloan [82]
Figura 7.22: Coeficiente de capacidade de carga Nc
Na Figura 7.23 reproduz-se a distribuição da dissipação plástica para cada um dos
ângulos de atrito considerados. A sua observação permite corroborar os comentários
efectuados sobre o aumento da região mobilizada pelos mecanismos de colapso em
função do ângulo de atrito. De forma a proporcionar uma melhor noção sobre a
extensão da região de colapso, são cotadas na figura, de um modo aproximado, as
158 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
.5R
.8R
.6R
.6R
.7R
1.9R
.9R
3.4R
1.2
R
1.2R
Tresca
φ = 10◦
φ = 20◦
φ = 30◦
φ = 40◦
máx0
Figura 7.23: Dissipação plástica nas sapatas circulares
7.2. CAPACIDADE DE CARGA DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS 159
suas dimensões.
7.2.2 Sapatas quadrada e rectangular
Prossegue-se com a determinação de coeficientes de capacidade de carga mas, desta
feita, para sapatas de geometria quadrada e rectangular. A complexidade desta
temática não permitiu, até à data, a obtenção de soluções exactas pelo que é ainda
hoje objecto de investigação por parte de diversos autores.
Não se pretende aqui, de modo algum, efectuar um estudo exaustivo deste problema.
Pelo contrário, procedeu-se à selecção de um número limitado de situações que, após
testadas, permitam não só a prossecução da ilustração do comportamento da formuhyphen.alt
lação desenvolvida mas também a aferição das capacidades de cálculo disponibilizahyphen.alt
das por esta ferramenta numérica, mediante a comparação dos valores obtidos com
valores de referência encontradas na literatura.
Assim, consideraram-se apenas duas geometrias para as sapatas, nomeadamente
aquelas que correspondem a uma relação das dimensões em planta, B ×L (comprihyphen.alt
mento × largura), de BL = 1 ou de BL = 12. Para o material que constitui o solo,
estudaram-se igualmente duas possibilidades distintas: um comportamento purahyphen.alt
mente coesivo modelado através do critério de Tresca (identificado como caso φ = 0
de modo a abreviar a notação) e através do critério de Mohr-Coulomb um comporhyphen.alt
tamento do tipo friccional caracterizado por um ângulo de atrito, φ = 30◦. Neste
último caso, analisam-se não só situações onde se tem em conta o comportamento
combinado friccional e coesivo, bem como uma situação onde se admite um comporhyphen.alt
tamente puramente friccional (c = 0). É pressuposta a indeformabilidade da sapata,
sendo esta modelada através de um corpo rígido. Em resultado das condições de
simetria do problema, é modelado apenas um quarto da estrutura (ver Figura 7.24).
As condições cinemáticas de fronteira impostas ao modelo consistem em restringir
os deslocamentos dos nós localizados nos planos de simetria nas direcções normais
aos planos correspondentes, sendo impedidos todos os deslocamentos nodais nos reshyphen.alt
tantes planos laterais que delimitam o terreno bem como no plano inferior. Desta
vez, considera-se a ligação entre a sapata e o solo perfeitamente rugosa.
À semelhança dos exemplos anteriores, começa-se por efectuar um estudo compahyphen.alt
rativo entre o desempenho de elementos lineares e quadráticos, em malhas tanto
160 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
bloco-estruturadas como não estruturadas, exemplificadas na Figura 7.24. Para tal,
determina-se o valor do coeficiente Nc para o caso da sapata quadrada e material
puramente coesivo, sendo esta análise efectuada considerando a carga vertical da
sapata como única acção.
Malha bloco-estruturada Malha não estruturada
Figura 7.24: Exemplo de malhas tipo
Na Tabela 7.10 encontram-se discriminadas as características das várias malhas utihyphen.alt
lizadas para este estudo. É, para cada caso, listado o tipo de malha e de elementos
finitos utilizados, bem como o número de elementos da malha e dos graus de lihyphen.alt
berdade. Convém esclarecer que a consideração de malhas não estruturadas de
elementos lineares foi preliminarmente excluída dos casos analisados, devido às limihyphen.alt
tações demonstradas nos exemplos precedentes. Por último, são ainda incluídos, na
referida tabela, os valores obtidos para o coeficiente Nc.
Com base nesta informação, é ainda representada a evolução do valor de Nc em
função dos graus de liberdade do problema, no gráfico da Figura 7.25.
Mais uma vez se conclui, através da análise dos dados apresentados, que em situações
análogas são os elementos quadráticos que revelam melhor capacidade de produzir
bons resultados com um menor número de graus de liberdade. Não sendo muito
notória para os graus de liberdade globais, esta vantagem tende a acentuar-se em
relação aos graus de liberdade locais. Novamente se confirma a vantagem da utilizahyphen.alt
ção de malhas bloco-estruturadas em detrimento das não estruturadas, permitindo
às primeiras ganhos da ordem dos 10%, no presente caso.
Prossegue-se com a determinação de estimativas de elevada precisão para todos os
coeficientes de capacidade de carga considerados. De modo a atingir estes objectivos
recorreu-se a malhas bloco-estruturadas uniformes, de elementos quadráticos, com
um elevado grau de refinamento, encontrando-se resumidos na Tabela 7.11, os dados
7.2. CAPACIDADE DE CARGA DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS 161
Tabela 7.10: Informação da análise comparativa da utilização de elementos lineares
e quadráticos
Tipo de malha Tipo de Número de NGL Ncelementos elementos globais locais
bloco-estruturada linear 2688 1521 8064 9.0631
bloco-estruturada linear 10008 5814 30024 8.0593
bloco-estruturada linear 24576 14677 73728 7.6416
bloco-estruturada linear 43680 26387 131040 6.9740
bloco-estruturada linear 117432 71568 352296 6.6937
bloco-estruturada linear 196536 120164 589608 6.5109
bloco-estruturada linear 324672 199523 974016 6.4821
bloco-estruturada quadrático 2688 10604 32256 7.3839
bloco-estruturada quadrático 10008 40279 120096 6.8167
bloco-estruturada quadrático 24576 101007 294912 6.4622
bloco-estruturada quadrático 43680 181097 524160 6.3037
bloco-estruturada quadrático 87504 364160 1050048 6.1816
não estruturada quadrático 2582 9221 30984 8.8356
não estruturada quadrático 10448 39521 125376 7.5838
não estruturada quadrático 22419 86646 269028 7.1960
não estruturada quadrático 53015 207291 636180 7.0076
não estruturada quadrático 86725 339776 1040700 6.8740
 
 
00 10 2020 30 40406
6.5
7
7.5
8
8.5
9
Nc
60 80 100
NGL globais (×104) NGL locais (×104)
bloco-estruturado
não estruturado
linear
quadrático
Figura 7.25: Evolução do valor de Nc com refinamento da malha para o caso de
B
L = 1 e φ = 0
162 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
referentes às discretizações adoptadas. Na mesma tabela, as dimensões b, l e h
representam, respectivamente, o comprimento, largura e altura da massa de solo do
modelo numérico. Tal como se pode constatar, houve a necessidade de adequar as
dimensões do modelo para fazer face à extensão da região mobilizada pelos diferentes
mecanismos de colapso para cada uma das situações analisadas.
Tabela 7.11: Características das malhas utilizadas para a análise das sapatas quahyphen.alt
dradas e rectangulares
φ BL bB lB hB Número de NGLelementos globais locais
0o 1 1.25 1.25 0.66 285144 1189813 34217281/2 1.5 1.8 0.75 303480 1261417 3641760
30o 1 2.8 2.8 1.25 429264 1811513 51511681/2 3.5 2.9 1.45 441504 1862089 5298048
O número significativo de graus de liberdade envolvido nos cálculos obriga, necessahyphen.alt
riamente, à utilização de computação paralela, efectuada, no presente caso, através
da variante do algoritmo PSPASES.
Neste instante, importa referir que o cálculo dos coeficientes Nq e Nγ faz-se consihyphen.alt
derando uma coesão efectiva nula (c = 0) e tendo como acções, para além da carga
vertical da sapata considerada como variável, também um carregamento fixo correshyphen.alt
pondente à sobrecarga superficial ou ao peso próprio do solo, consoante os casos.
É de realçar que, para muitas formulações, a utilização de um critério puramente
friccional revela-se uma dificuldade numérica apreciável, procurando-se evitar esta
situação através da consideração de uma coesão de valor desprezável (c ≈ 0); esta era
a situação da formulação inicial. Contudo, a presente formulação não requer desta
medida, revelando, como se poderá constatar, ser capaz de transpor facilmente esta
dificuldade.
Alternativamente, a determinação do coeficiente Nq pode ser realizada com base no
valor do coeficiente Nc, através da seguinte expressão:
Nq = 1 + Nc tanφ (7.4)
No trabalho de Zhu e Michalowski [135] é discutida a validade da utilização de (7.4)
no presente contexto.
7.2. CAPACIDADE DE CARGA DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS 163
Na Tabela 7.12 apresentam-se as estimativas dos coeficientes de capacidade de carga
para cada uma das situações consideradas. Juntamente, apresentam-se os resultados
publicados em [130] obtidos com a variante da implementação paralela que utiliza o
método da subestruturação e utilizando elementos lineares. Como termo de compahyphen.alt
ração, e por forma a salientar a boa qualidade dos valores obtidos, são ainda listados
nesta tabela resultados obtidos por outros autores através de diferentes métodos. Os
valores obtidos através de análise limite foram seleccionados em resultado de uma
pesquisa pormenorizada na literatura técnica, tendo em vista a recolha dos melhores
resultados publicados. É ainda apresentado um conjunto de resultados obtidos fora
do âmbito da análise limite, enquadrando-se estes numa estratégia de análise increhyphen.alt
mental [48], [92] e por último o trabalho de Zhu e Michalowski [135] que combina
estas duas técnicas.
Tabela 7.12: Valores dos coeficientes de capacidade de carga para as sapatas quahyphen.alt
dradas e rectangulares
φ BL
Limite superior Limite Análise
elementos elementos outras inferior incremental
quadráticos lineares [130] formulações
Nc
0o 1 5.964 6.051 6.221 [112] 5.523[112] 5.96 [48]1/2 5.726 5.821 6.022 [112] 5.359[112] 5.60 [48]
30o 1 62.474 66.936 104.019 [91] - 61.30 [92]1/2 51.672 57.233 67.099 [91] - -
Nq 30o
1 37.067 39.643 61.055* [91] - 31.104[135]37.070* 39.646*
1/2 30.716 34.123 39.740* [91] - 27.450[135]30.833* 34.043*
Nγ 30o 1 18.444 19.648 21.82 [81] 12.67 [81] 19.896[135]1/2 19.944 23.974 27.57 [81] 14.75 [81] 21.394[135]
* valores cálculados através da expressão (7.4)
Como se pode constatar através da comparação entre os diferentes resultados, a utihyphen.alt
lização da formulação aqui proposta, aliada à sua implementação paralela, permite
a obtenção de valores de qualidade assinalável, sendo capaz de superar, invariavelhyphen.alt
mente, os melhores valores actualmente publicados com base em formulações de
limite superior, com particular ênfase para os valores encontrados nos trabalhos
recentes de Salgado et al. [112] e de Lyamin et al. [81].
164 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
Outro aspecto interessante que convém reter da análise dos resultados é a concorhyphen.alt
dância dos valores obtidos para o coeficiente Nq, quer calculado directamente, quer
através da expressão (7.4). Efectivamente, tal indicia que a utilização de coesão nula
não parece afectar a precisão dos resultados da formulação numérica.
Na Figura 7.26 encontram-se representadas, para todas as configurações de sapata
e materiais estudados, a distribuição da dissipação plástica correspondente à situhyphen.alt
ação de colapso associada ao cálculo do coeficiente Nc. Relembra-se que, no caso
dos restantes coeficientes, o colapso é atingido sem a ocorrência de dissipação pláshyphen.alt
tica. Esta peculiaridade é consequência directa da consideração de um material com
coesão nula.
Um exame atento do traçado das dissipações permite descortinar alguma irreguhyphen.alt
laridade no seu padrão, influenciada, sem dúvida, pela transição entre elementos
finitos. Contudo, esta irregularidade resulta, em grande medida, de limitações da
representação gráfica adoptada: a ferramenta de representação gráfica, ParaView2,
atribui uma côr constante por elemento. Note-se que a influência desta limitação
não se fez sentir nas ilustrações dos exemplos precedentes devido à maior densidade
relativa de elementos das suas malhas. Esta limitação reflecte-se de um modo mais
significativo no presente exemplo, devido a uma menor densidade de elementos nas
malhas utilizadas.
No gráfico da Figura 7.27 é traçada a evolução da solução para todos casos estudados
com sapatas quadradas, ao longo do processo iterativo de Uzawa. Nas ordenadas
indica-se o valor da solução de forma normalizada, sendo o valor unitário corresponhyphen.alt
dente ao valor final da solução. Por sua vez, o número de iterações indica-se no eixo
das abscissas, em escala logarítmica. No gráfico da Figura 7.28, repete-se o mesmo
tipo de informação, mas agora para os casos de sapatas com geometria rectangular.
Desde logo, ressalta da análise destes gráficos uma grande disparidade de comportahyphen.alt
mento relativo, conforme as características dos materiais e do tipo de carregamento
em questão.
2www.paraview.org
7.2
.
CA
PA
CI
DA
DE
DE
CA
RG
A
DE
FU
ND
AÇ
ÕE
SS
UP
ER
FI
CI
AI
S
16
5
φ = 0◦; BL = 1φ = 0◦; BL = 12
φ = 30◦; BL = 1φ = 30◦; BL = 12
máx
0
Figura 7.26: Dissipação plástica nas sapatas quadradas e rectangulares
166 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
Os exemplos referentes a materiais puramente coesivos destacam-se pela positiva,
exibindo uma velocidade de convergência extremamente rápida. Salienta-se ainda o
facto destes serem também os casos que apresentam um traçado onde um comporhyphen.alt
tamento do tipo oscilatório é pouco ou nada perceptível.
Ao contrário, os exemplos referentes ao cálculo do coeficiente Nγ são aqueles que
apresentam uma convergência mais lenta. Esta caracteriza-se por uma etapa fihyphen.alt
nal onde o comportamento oscilatório inicial termina e o valor da solução decresce
lentamente para o resultado final. A propósito deste exemplo, revela-se que, da
experiência adquirida através da análise de diversos exemplos, os que apresentam
pior convergência são, invariavelmente, aqueles que utilizam materiais com ângulos
de atrito elevados e uma combinação simultânea de carregamentos fixos e variáveis.
Confrontando agora o comportamento das soluções das sapatas quadradas com o
das rectangulares, observa-se que existe uma ligeira tendência de uma maior rapidez
de convergência por parte das primeiras. A alteração de geometria do problema
reflectindo-se na perda de simetria dos mecanismos de colapso e o maior número de
elementos utilizados para a discretização dos casos das sapatas rectangulares, são os
dois factores apontados para esta diferença de comportamento.
Outro aspecto interessante a reter é o dos traçados referentes aos cálculos dos cohyphen.alt
eficientes Nc e Nq apresentarem um número semelhante de iterações até atingir a
convergência. Este facto reforça a ideia de que a presente formulação demonstra boa
capacidade de lidar com materiais com um comportamento puramente friccional.
Na Tabela 7.13 são apresentados os tempos de cálculo para cada uma das situações
consideradas. Para além do tempo total de cálculo, é ainda discriminado o tempo
médio da duração de uma iteração de Uzawa e o tempo de execução de toda a etapa
de cálculo que antecede o início do processo iterativo. As principais tarefas que conshyphen.alt
tituem esta primeira etapa são a montagem e factorização do sistema governativo
global.
Complementa-se a informação da Tabela 7.13 indicando o número de Slaves utilizahyphen.alt
dos nos cáculos. De novo, optou-se por recorrer à estratégia em que um dos núcleos
de processamento partilha, em simultâneo, as tarefas de Master e de Slave. Considehyphen.alt
ra-se conveniente esclarecer a razão que esteve na base da utilização de um número
diferente de Slaves para os diferentes casos. A utilização inicial de 16 Slaves permihyphen.alt
tiu efectuar dois cálculos em simultâneo, com os recursos informáticos disponíveis.
7.2. CAPACIDADE DE CARGA DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS 167
 
 
10 50 100 500 1000 3000
0.6
0.8
1
1.1
1.2
1.4
So
luç
ão
no
rm
ali
za
da
Número de iterações
Nc;φ = 0◦
Nc;φ = 30◦
Nq;φ = 30◦
Nγ;φ = 30◦
Figura 7.27: Convergência do algoritmo de Uzawa para as sapatas quadradas
 
 
20 50 100 500 1000 3000
0.6
0.8
1
1.1
1.2
1.4
1.6
So
luç
ão
no
rm
ali
za
da
Número de iterações
Nc;φ = 0◦
Nc;φ = 30◦
Nq;φ = 30◦
Nγ;φ = 30◦
Figura 7.28: Convergência do algoritmo de Uzawa para as sapatas rectangulares
168 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
Tabela 7.13: Tempos de cálculo dos problemas das sapatas quadradas e rectangulares
φ BL
Tempo de cálculo Número de
montagem e médio por total Slaves
factorização iteração
Nc
0o 1 21m 38.8s 3.15s 37m 53.3s 161/2 26m 36.3s 3.41s 43m 26.3s 16
30o 1 43m 06.7s 4.43s 1h 42m 40.5s 321/2 49m 45.3s 4.40s 1h 43m 50.4s 32
Nq 30o 1 42m 56.4s 4.48s 1h 27m 38.5s 321/2 51m 51.9s 4.40s 1h 42m 36.1s 32
Nγ 30o 1 43m 40.4s 4.46s 3h 36m 51.4s 321/2 47m 33.3s 4.36s 3h 45m 41.2s 32
Prosseguir com esta opção revelou-se, contudo, impossível para os restantes casos
devido à necessidade de memória inerente ao maior número de NGL envolvidos nos
cálculos. Assim, e em alternativa, os segundos exemplos foram executados sucessivahyphen.alt
mente, podendo assim cada um deles disponibilizar de todos os recursos existentes,
tanto de memória como de processamento.
Começa-se por referir que os tempos de execução registados são, desde logo, ilustratihyphen.alt
vos do grande volume de cálculo envolvido nestes problemas. Conforme expectável,
os tempos de cálculo são reflexo do comportamento observado na convergência do
algoritmo de Uzawa (Figuras 7.27 e 7.28). Efectivamente, os maiores tempos coincihyphen.alt
dem com os casos de pior convergência. Observe-se também que a etapa inicial de
cálculo, em virtude de englobar a factorização do sistema governativo global, reprehyphen.alt
senta uma parcela significativa do tempo total de execução, atenuando-se o seu peso
relativo para os casos que apresentam piores taxas de convergência durante o algohyphen.alt
ritmo de Uzawa. Para concluir, sublinha-se o reduzido tempo médio por iteração,
compensando um pouco o número elevado de iterações necessárias para a resolução
da generalidade dos problemas.
7.2.2.1 Introdução de descontinuidades
Por forma a ilustrar o benefício resultante da utilização de elementos com desconhyphen.alt
tinuidades, determina-se novamente o coeficiente de capacidade de carga Nc para o
caso da sapata de geometria quadrada, mas introduzindo, numa região particular
7.2. CAPACIDADE DE CARGA DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS 169
da discretização da malha, elementos Híbridos-Mistos que possibilitam a de formahyphen.alt
ção de descontinuidades no campo de velocidades. A observação da distribuição da
dissipação plástica obtida para as soluções precedentes com campos de velocidades
contínuos (Figura 7.26), revela a existência de elevadas dissipações no solo adjacente
à extremidade da sapata. Deste modo, procedeu-se ao refinamento desta zona da mahyphen.alt
lha com elementos Híbridos-Mistos quadráticos no domínio e lineares na fronteira.
B/2
b1 b2
hdregião comdescontinuidades
Figura 7.29: Identificação da região de elementos com descontinuidades
A ilustração da zona refinada encontra-se na Figura 7.29, sendo a caracterização dos
parâmetros geométricos aí definidos compilada na Tabela 7.14. No mesmo quadro
encontram-se, ainda, o número de fronteiras com descontinuidades bem como os
NGL globais e locais, para ambas as malhas utilizadas. Por último, indicam-se os
valores obtidos para o coeficiente Nc. Para facilitar a comparação dos resultados
entre as malhas com e sem elementos de descontinuidades, recapitulam-se também
na Tabela 7.14 os valores respectivos às primeiras análises.
Tabela 7.14: Resumo das informações sobre as sapatas com descontinuidades
φ Geometria Nr. fronteiras NGL Ncb1
B
b2
B
hd
B com descont. globais locais
0o - - - - 1189813 3421728 5.9640.4 0.6 0.085 10346 1318785 3483804 5.950
30o - - - - 1811513 5151168 62.4740.4 0.66 0.16 4026 1862055 5175324 59.608
Da análise dos valores de Nc obtidos conclui-se que a introdução localizada de elehyphen.alt
mentos com descontinuidades permite melhorar a precisão dos resultados, sem um
acréscimo significativo de custos computacionais, sendo estes aferidos através dos
NGL envolvidos nos cálculos. Efectivamente, observa-se uma redução de 0.24%
170 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
a) perspectiva tridimensional
b) secção de um plano de simetria
máx0
Dissipação plástica
Figura 7.30: Mecanismo de colapso com descontinuidades para a sapata quadrada,
associado ao coeficiente Nc e material de Mohr-Coulomb com φ = 30◦
7.2. CAPACIDADE DE CARGA DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS 171
e 4.59%, para os casos correspondentes ao material Tresca e Mohr-Coulomb com
φ = 30◦, respectivamente. A melhoria menos acentuada verificada para a primeira
situação pode encontrar justificação em, essencialmente, dois factores: (i) a densihyphen.alt
dade mais elevada de elementos na malha inicial associada ao critério de Tresca,
o que torna a própria solução inicial mais precisa e com menos margem de melhohyphen.alt
ria; (ii) a contabilização da dissipação plástica associada às descontinuidades para
o critério de Tresca durante a etapa de minimização local fazer-se de modo não
exacto (ver secção 5.3.5), contrariamente ao procedimento adoptado para o critério
de Mohr-Coulomb, podendo, desta forma, reduzir a eficácia do elemento Híbridohyphen.alt
Misto.
Na Figura 7.30 encontra-se representado o mecanismo de colapso para o caso correshyphen.alt
pondente ao material de Mohr-Coulomb com um ângulo de atrito, φ, de 30o; situação
na para a qual se registou a melhoria mais significativa com a introdução de desconhyphen.alt
tinuidades. Na representação do mecanismo, na secção respectiva a um dos planos
de simetria, é notório o efeito das descontinuidades do campo das velocidades.
7.2.3 Análise do desempenho da implementação paralela
A encerrar a secção dos exemplos numéricos do cálculo da capacidade de carga de
fundações superficiais, é apresentado um estudo comparativo das diferentes estrahyphen.alt
tégias de paralelização propostas no Capítulo 6. A aferição é realizada com base
no tempo efectivo de execução. Este é o tempo decorrido desde o início ao fim do
útimo cálculo, englobando não só os períodos de tempo de processamento efectivo,
mas também os tempos despendidos com comunicações. Recorre-se ainda a uma
medida, denominada de Speedup na terminologia inglesa, comummente utilizada na
verificação da qualidade de algoritmos paralelos. O Speedup, simbolizado pelas lehyphen.alt
tras Sp, é o quociente que contabiliza o aumento de velocidade de cálculo observado
quando se executa um algoritmo paralelo em p processadores em relação à execução
do melhor algoritmo sequencial equivalente. Deste modo, tem-se:
Sp = tst
p
(7.5)
onde ts e tp são os tempos de execução dos algoritmos sequencial e paralelo, reshyphen.alt
pectivamente. Perante a impossibilidade de garantir a implementação do melhor
172 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
algoritmo sequencial, utiliza-se o algoritmo sequencial existente para contabilizar o
tempo de referência, ts, sendo o Speedup assim obtido denominado de relativo.
De modo a evitar distorções dos resultados, garantiu-se a execução de todos os exemhyphen.alt
plos recorrendo apenas à memória física, a denominada RAM (do inglês Random
Access Memory). Evita-se, assim, a utilização de memória recorrendo a registos no
disco rígido, designada de SWAP, cujos tempos de acesso resultam numa redução
significativa da velocidade de processamento.
Segue-se a descrição dos testes efectuados e respectivos resultados, após a qual se
procede à discussão dos mesmos. Esta discussão é realizada de uma forma global,
tentando conjugar simultaneamente as várias situações contempladas.
7.2.3.1 Teste I
A primeira situação aqui analisada, identificada por Teste I, diz respeito à análise
da capacidade de carga de uma sapata circular num solo com um ângulo de atrito
de 40o, utilizando-se, para o efeito, uma malha bloco-estruturada com 738343 elehyphen.alt
mentos lineares. Esta discretização corresponde, respectivamente, a 521 mil e 2.2
milhões de graus de liberdade globais e locais, necessitando de, para a sua execução
em processamento sequencial, cerca de 7GB de memória. Este é considerado um
problema de pequena/média dimensão no contexto da computação paralela, sendo
que a dimensão do problema é, em regra, aferida pelo NGL globais. Contudo, emhyphen.alt
bora o presente caso já apresente um número considerável de graus de liberdade, a
sua geometria confere uma esparsidade anormalmente elevada à matriz do sistema
governativo global, justificando, desta forma, a classificação atribuída à dimensão
do problema. A comprová-lo temos o reduzido consumo de memória observado.
O tempo total de computação para os cálculos realizados através da implementação
sequencial foi de 3h 49m 46.4s.
Realiza-se um estudo comparativo do desempenho das diferentes variantes propostas
para os algoritmos paralelos baseados em métodos de resolução directa, nomeadahyphen.alt
mente: o método da subestruturação, o método da subestruturação recursiva e o
algoritmo PSPASES. Para este último caso foi considerada, adicionalmente, uma vahyphen.alt
riante que se baseia na utilização do mesmo núcleo de processamento para executar
o processo Master e um dos Slaves. Foi excluída deste teste a análise através do
7.2. CAPACIDADE DE CARGA DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS 173
método de FETI por este ser indicado para problemas de maior dimensão.
 
 
1 4 8 12 16 20 24 28 32
30
60
90
120
150
180
210
240
270
Te
mp
o(
mi
n.)
Número de núcleos de processamento
PSPASES
var.PSPASES
Subestruturação
Subestrut. recurs.
Figura 7.31: Teste I - tempo total de cálculo dos algoritmos paralelos
No gráfico da Figura 7.31 representa-se, para todos os algoritmos testados, a evoluhyphen.alt
ção do tempo total de cálculo em função do número de núcleos de processamento
utilizados. Complementa-se esta informação com o gráfico da Figura 7.32, que rehyphen.alt
presenta a evolução registada para o coeficiente de Speedup. Como elemento de
referência, é ainda marcada a linha correspondente a um Speedup linear.
7.2.3.2 Teste II
Para o Teste II retoma-se o problema do cálculo do coeficiente Nc para uma sapata
de geometria rectangular assente num solo simulado por um material puramente cohyphen.alt
esivo. Neste caso, recorreu-se a uma malha bloco-estruturada com 56040 elementos,
correspondendo a, respectivamente, 229 mil e 672 mil graus de liberdade globais e
locais envolvidos na análise.
Classifica-se a dimensão deste problema como média, sendo necessário cerca de
14.5GB de memória e um tempo de cálculo de 8h 59m 15.7s, para a sua execuhyphen.alt
ção sequencial.
174 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
 
 
28 3211
4
4
8
8
12
12
16
16
20
20
24
24
Número de núcleos de processamento
Sp
eed
up
PSPASES
var. PSPASES
Subestruturação
Subestrut. recurs.
Speedup linear
Figura 7.32: Teste I - Speedup total dos algoritmos paralelos
Neste grupo de análises, para além das implementações paralelas com base em méhyphen.alt
todos directos de resolução já utilizadas no teste antecedente, foi também testada
a variante baseada no método de resolução híbrido FETI. No código desta última
implementação não foi (até à data) contemplada a introdução de corpos rígidos no
modelo. Esta limitação faz com que seja necessário modelar a sapata através de
elementos deformáveis de elevada resistência, conduzindo a um aumento de 3.22%
e 2.36% dos NGL globais e locais, respectivamente. Considera-se contudo que este
aumento não é significativo, pelo que não inviabiliza ou prejudica uma análise comhyphen.alt
parativa com as restantes implementações. Outra peculiaridade da utilização da
implementação FETI advém do facto da resolução do problema de minimização
global ser efectuada de modo inexacto. Esta característica faz com o número de itehyphen.alt
rações para atingir a convergência do algoritmo de Uzawa possa diferir das restantes
implementações, podendo mesmo conduzir a pequenas oscilações no resultado final.
Para confirmar a afirmação anterior apresenta-se na Tabela 7.15, para as análise
executadas com base no método de FETI, o número de iterações efectuadas pelo
algoritmo de minimização, bem como o valor da solução obtida. São ainda aprehyphen.alt
sentados valores de referência obtidos através de um método de resolução directa.
Adicionalmente, indica-se o erro relativo entre as soluções do FETI e do método
directo.
7.2. CAPACIDADE DE CARGA DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS 175
Tabela 7.15: Número de iterações e solução resultantes da aplicação do método de
FETI
Método Número de Número Solução
resolução Slaves iterações valor erro relativo
FETI 3 894 5.8841 +0.01%
FETI 7 875 5.8828 -0.02%
FETI 11 931 5.8808 -0.05%
FETI 15 872 5.8821 -0.03%
FETI 19 955 5.8811 -0.04%
FETI 23 922 5.8835 -0.01%
FETI 27 971 5.8798 -0.07%
FETI 31 954 5.8828 -0.02%
directo - 719 5.8838 0.00%
À semelhança do que foi efectuado para o Teste I, apresenta-se, nos gráficos das
Figuras 7.33 e 7.34, a evolução do tempo total de cálculo e do correspondente coehyphen.alt
ficiente de Speedup em função do número de núcleos de processamento, para todos
os algoritmos testados. Note-se que os eixos das ordenadas apresentam a particuhyphen.alt
laridade de utilizar duas escalas distintas. Este artifício é utilizado por forma a
permitir uma melhor visualização dos resultados, destrinçando as linhas referentes
aos diferentes ensaios. Repete-se este mesmo tipo de informação nos gráficos das
Figuras 7.35 e 7.36, agora em relação ao consumo médio de tempo por iteração do
algoritmo de Uzawa. Finalmente, representa-se no gráfico da Figura 7.37 a evolução
do consumo de tempo da fase inicial do processo de cálculo. Esta fase engloba,
como principais tarefas, a montagem do sistema governativo da minimização global
e respectiva factorização, parcial ou total.
A discriminação dos tempos parciais de execução, nomeadamente do tempo médio
por iteração, permite, de algum modo, extrapolar os resultados obtidos independenhyphen.alt
temente das propriedades dos materiais. Efectivamente, o aumento do ângulo de
atrito traduz-se num aumento do número de iterações do algoritmo de Uzawa, conhyphen.alt
forme constatado anteriormente. Assim, para estes últimos casos, é previsível um
aumento do tempo do processo iterativo comparativamente ao comportamento aqui
apresentado utilizando um material puramento coesivo, mantendo-se inalterado o
tempo de execução da fase inicial. Mais, é possível balizar, sem grande rigor, o seu
desempenho expectável, prevendo-se que o valor do coeficiente de Speedup total se
176 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
 
 
1 4 8 12 16
20
20 24 28 32
3030
60
90
10
120
150
180
210
240
270
Te
mp
o(
mi
n.)
Número de núcleos de processamento
PSPASES
FETI
var.PSPASES
Subestruturação
Subestrut. recurs.
Figura 7.33: Teste II - tempo total de cálculo dos algoritmos paralelos
 
 
11
4
4
8
8
12
12
1616
16 20 24 28
32
32
60
90
Número de núcleos de processamento
Sp
eed
up
PSPASES
FETI
var. PSPASES
Subestruturação
Subestrut. recurs.
Speedup linear
Figura 7.34: Teste II - Speedup total dos algoritmos paralelos
7.2. CAPACIDADE DE CARGA DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS 177
 
 
1 20 24 28 320
2
4
4
8
8
12
12
16
16
Te
mp
o(
s)
Número de núcleos de processamento
PSPASES
FETI
var.PSPASES
Subestruturação
Subestrut. recurs.
Figura 7.35: Teste II - tempo médio por iteração dos algoritmos paralelos
 
 
1
1
4
4
8
8
12
12
16
16
20
20
24
24
28
28
32
32
Número de núcleos de processamento
Sp
eed
up
PSPASES
FETI
var. PSPASES
Subestruturação
Subestrut. recurs.
Speedup linear
Figura 7.36: Teste II - Speedup do tempo médio por iteração dos algoritmos paralelos
178 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
encontre entre o actual valor e o valor do Speedup do tempo médio
 
 
8 12 16 20 24 28 320
1
1
2
3
4
4
5
6.66.6
30
60
90
120
150
Te
mp
o(
mi
n.)
Número de núcleos de processamento
PSPASES
FETI
var.PSPASES
Subestruturação
Subestrut. recurs.
Figura 7.37: Teste II - consumo de tempo da fase inicial de montagem e factorização
7.2.3.3 Teste III
Neste derradeiro conjunto de ensaios utiliza-se novamente, para o cálculo do coeficihyphen.alt
ente Nc, a malha de 441504elementos quadráticos, cujas características se encontram
resumidas na Tabela 7.11.
Trata-se de um problema que, devido à sua grande dimensão, inviabiliza a sua exehyphen.alt
cução através da implementação sequencial em resultado de limitações de memória.
Pela mesma razão, não foi possível utilizar as implementações paralelas baseadas
nos métodos de subestruturação e subestruturação recursiva. O próprio algoritmo
PSPASES, a única das implementações baseada em métodos de resolução directos
que superou as limitação da memória, esgotou praticamente os recursos de todas as
máquinas que constituíam o cluster, ou seja, 16GB/máquina.
Na execução dos cálculos foi ainda testada a implementação baseada no algoritmo
FETI. Salienta-se que, neste caso, a memória não constituiu um factor limitativo,
não tendo sido necessário utilizar mais do que 2/3 dos recursos disponíveis. Refere-se
ainda, que pelas mesmas razões expostas durante descrição do teste antecedente, a
7.2. CAPACIDADE DE CARGA DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS 179
aplicação desta última implementação conduz a um aumento de, respectivamente,
0.32% e 0.24% dos NGL globais e locais, sendo que a solução divergiu em +0.12%
do valor apresentado na Tabela 7.12, obtido através de um método de resolução
directa.
Contrariamente aos testes anteriores, não é possível aferir o desempenho da implehyphen.alt
mentação paralela com base nos resultados do algoritmo sequencial. Em alternativa,
introduz-se uma nova medida, a eficiência relativa, definida através da seguinte exhyphen.alt
pressão:
Ep/n = tnnt
pp
(7.6)
onde tn e tp são os tempos de execução por n e p processadores, respectivamente,
sendo n ≤ p. Deste modo, um valor de eficiência relativa superior à unidade significa
que o aumento do número de processadores se traduz num aumento do desempenho
em relação à configuração de referência de n processadores.
Na Tabela 7.16 resumem-se os resultados obtidos para todas as situações estudadas
no presente teste. Neste quadro são definidos, para além das parcelas correspondenhyphen.alt
tes aos tempos de montagem e factorização, ao tempo médio por iteração e ao tempo
total de execução, também valores correspondentes à eficiência relativa. Como termo
de comparação, são ainda apresentados, para as mesmas situações, os resultados rehyphen.alt
ferentes aos testes anteriores para a implementação baseada no algoritmo PSPASES.
7.2.3.4 Discussão dos resultados
Para concluir esta secção procede-se a uma discussão dos resultados apresentados,
procurando-se extrair as principais conclusões a reter quanto ao desempenho comhyphen.alt
parativo das diferentes implementações paralelas.
É notório constatar que, em qualquer dos casos analisados, a implementação baseada
no algoritmo PSPASES foi aquela que apresentou, constante e inequivocamente, os
melhores resultados. É ainda de sublinhar que, na situação em que o processo Master
é atribuído a um processador independente, o algoritmo apresenta uma excelente
escalabilidade. Contudo, esta vantagem fica comprometida na variante em que um
processador acumula as tarefas de Master e de um dos Slaves.
18
0
CA
PÍ
TU
LO
7.
AP
LI
CA
ÇÕ
ES
NU
MÉ
RI
CA
S
Tabela 7.16: Resumo de resultados da análise do desempenho paralelo
Teste Algoritmo
Número de Tempo de cálculo Eficiência relativa (Ep/9)
núcleos de montagem e médio por total montagem e médio por total
processamento factorização iteração factorização iteração
PSPASES 9 1h 51m 15.8s 5.52s 4h 08m 01.6s 1.00 1.00 1.00
III PSPASES 17 54m 26.6s 4.33s 2h 41m 40.8s 1.082 0.675 0.812var. PSPASES 32 50m 22.6s 4.18s 2h 33m 58.7s 0.621 0.371 0.453
FETI 32 27m 13.4s 46.49s 13h 46m 42.8s 1.149 0.033 0.084
PSPASES 9 1m 58.2s 0.70s 10m 21.5s 1.00 1.00 1.00
II PSPASES 17 51.2s 0.45s 6m 15.0s 1.223 0.823 0.877
var. PSPASES 32 38.1s 0.81s 10m 19.6s 0.872 0.243 0.282
PSPASES 9 21.1s 0.75s 20m 52.0s 1.00 1.00 1.00
I PSPASES 17 23.6s 0.44s 12m 25,8s 0.473 0.902 0.889
var. PSPASES 32 40.2s 1.01s 28m 16.5s 0.147 0.209 0.208
7.2. CAPACIDADE DE CARGA DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS 181
Faz-se agora referência aos valores de Speedup superlineares registados nos gráficos
da Figuras 7.32, 7.34 e 7.36. Estes valores, aparentemente anómalos, podem ser jushyphen.alt
tificados por um desempenho menos satisfatório por parte do algoritmo de resolução
directa proposto por Pissanetzky que é utilizado na implementação sequencial, já que
o código da minimização local é comum a ambas as implementações, sequencial e pahyphen.alt
ralela. De resto, este mesmo algoritmo é igualmente empregue nas implementações
paralelas através dos métodos da subestruturação e da subestruturação recursiva.
Este facto pode igualmente justificar alguma da falta de competitividade destas duas
últimas implementações face à PSPASES.
Ainda em relação ao comportamento dos dois métodos de subestruturação constahyphen.alt
tam-se duas fase distintas: uma fase inicial onde existe um decréscimo do tempo do
cálculo com o aumento do número de núcleos de processamento, seguido de uma sehyphen.alt
gunda fase onde se observa uma estagnação ou mesmo um ligeiro aumento do tempo
de cálculo com o aumento do número de processadores. Esta perda de eficácia é mais
notória para o método de subestruturação não recursivo. Note-se que o aumento do
número Slaves se traduz, necessariamente, num aumento dos graus nas fronteiras
entre sub-domínios. É o aumento excessivo deste tipo de graus de liberdade devido
a uma grande subestruturação do domínio inicial que justifica a redução de desemhyphen.alt
penho mencionada. Para o método da subestruturação (não recursiva), este facto
é particularmente penalizador já que o problema da interface é resolvido por um
único processo, o Master, de forma sequencial.
A implementação baseada no método FETI é aquela que apresenta, para os problehyphen.alt
mas de maior dimensão, uma maior rapidez na fase inicial de cálculo, conforme se
pode comprovar pelos valores da Tabela 7.16. Contudo, o facto da factorização do
sistema governativo global só ser realizada parcialmente, sendo necessário recorrer
a um algoritmo iterativo para obter a solução de cada minimização global, faz com
que o tempo médio por iteração de Uzawa cresça significativamente. Conjugado
com este facto, encontra-se o habitualmente elevado número de iterações necessáhyphen.alt
rio para atingir a convergência através do algoritmo de Uzawa. Assim, conclui-se
que esta implementação de um método de resolução híbrido não se apresenta como
uma alternativa competitiva face ao método de resolução directa PSPASES, para a
presente formulação.
Por último, menciona-se que a utilização de uma resolução inexacta aquando da
utilização do método FETI conforme descrito na secção 6.3.4.2, mostra-se capaz de
182 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
produzir bons resultados sem afectar significativamente a precisão da solução.
7.3 Ligações de perfis metálicos tubulares
Nesta secção é aplicada a formulação de análise limite desenvolvida na determinação
da capacidade resistente de ligações de perfis metálicos tubulares de secção circular,
CHS (sigla inglesa para Circular Hollow Section), quando solicitadas por uma acção
estática.
7.3.1 Considerações iniciais
A utilização da Análise Limite como fundamento teórico de modelos desenvolvidos
para a estimativa da capacidade resistente de ligações metálicas tubulares é uma
abordagem que tem sido seguida por diversos investigadores. A comprovar esta afirhyphen.alt
mação encontram-se por exemplo os trabalhos de Packer et al. [102], Makino et al.
[86] e Cao et al. [18], e, mais recentemente, os de Soh et al. [119], Zhao [134] e
de Mashiri e Zhao [90]. Todos este trabalhos têm como característica comum basehyphen.alt
arem-se em mecanismos definidos por linhas de rotura através de descontinuidades
no campos das velocidades, deduzidos de forma analítica.
Contudo, a utilização estrita dos princípios inerentes à Análise Limite apresenta duas
limitações que podem ser condicionantes consoante as características da ligações
em jogo, concretamente, o diâmetro e espessura dos perfis. Estas limitações são
a impossibilidade de considerar efeitos geometricamente não-lineares nas análises
efectuadas e anível docomportamento constitutivo domaterial a consideração de um
comportamento perfeitamente elástico sem contemplar a possibilidade de existência
de endurecimento (hardening). Não obstante, existem situações, em que este tipo de
abordagem revela uma boa capacidade de prever a capacidade resistente de ligações
tubulares [119].
Ressalva-se que, com a aplicação da ferramenta numérica desenvolvida na análise de
ligações tubulares, não se pretende afirmar que para este tipo de problema, esta seja
competitiva quando comparada com outras formulações alternativas desenvolvidas
fora do âmbito da Análise Limite. Pretende-se, somente, prosseguir com a ilustrahyphen.alt
7.3. LIGAÇÕES DE PERFIS METÁLICOS TUBULARES 183
ção das grandes versatilidade e capacidade de cálculo disponibilizadas pelo método
proposto e mostrar que este género de problema é susceptível de ser analisado, com
um elevado grau de precisão, através de uma ferramenta numérica deste tipo.
7.3.2 Análise de duas ligações tubulares em K
O presente exemplo consiste na modelação numérica de dois ensaios experimentais
seleccionados de um conjunto de ensaios conduzidos por Kurobane et al. [132].
Neste ensaios estudam-se duas ligações tubulares em forma de K, caracterizadas
pela união de dois perfis secundários diagonais a um terceiro perfil considerado
principal, usualmente de maior secção, denominado de corda. Este tipo de ligação
é muito frequente em estruturas treliçadas metálicas.
Os dois ensaios aqui analisados diferem essencialmente na existência ou não de
afastamento entre as diagonais, definido através do parâmetro geométrico g. Como
se poderá constatar, este pormenor condicionará o tipo de rotura observado. Na
Figura 7.38 esquematiza-se o pormenor da ligação.
P
d0
d1
t0
t1
extremidades
apoiadas
extremidade
livre60og
Figura 7.38: Representação de uma ligação tubular em K
Na Tabela 7.17, por sua vez definem-se os parâmetros geométricos, nomeadamente,
o diâmetro, d, e a espessura, t, dos perfis e o afastamento, g, entre as diagonais,
sendo que um valor negativo deste parâmetro representa a existência de sobreposihyphen.alt
ção destes perfis na zona de ligação. Indicam-se, também, neste quadro os valores
experimentais obtidos para a tensão de cedência dos perfis, σy, obtidos através de
184 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
dois ensaios preliminares distintos. No primeiro destes ensaios testam-se provetes
constituídos por placas retiradas de cortes longitudinais dos perfis, sendo que no
segundo se testam troços do perfil com a secção completa. A discrepância entre
os valores obtidos através destes dois procedimentos pode-se considerar desprezável,
não ultrapassando os 2.2% mesmo para os casos mais significativos. Por último,
indica-se o valor registado para a carga máxima suportada por cada ligação durante
o ensaio.
Tabela 7.17: Caracterização dos ensaios experimentais
Parâmetros geométricos Resultados experimentais
Ensaio Elemento d t g σy (MPa) Carga máx.
(mm) (mm) (mm) provete secção (kN)
I corda 216.1 7.9 - 478 476 922diagonais 165.0 5.28 -30.0 363 371
II corda 216.1 7.9 - 480 478 836diagonais 165.0 5.28 29.5 363 371
Devido às condições de simetria do problema modelou-se apenas metade da estruhyphen.alt
tura, utilizando-se malhas não estruturadas de elementos quadráticos. Refira-se que
a escolha da utilização de malhas não estruturadas foi condicionada pela geometria
das peças. Optou-se também por utilizar malhas de elevado grau de refinamento
por forma a garantir a obtenção de resultados de elevada precisão. Encontram-se
sumarizados na Tabela 7.18 o número de elementos utilizados nas malhas de cada
modelo analisado, bem como os respectivos números de graus de liberdade globais e
locais. A título de exemplo, ilustra-se na Figura 7.39 uma das malhas utilizadas nos
cálculos. Como se pode constatar, procedeu-se a uma concentração de elementos
nas zonas da intercepção dos perfis onde era expectável uma maior concentração da
dissipação plástica na formação do mecanismo de colapso.
Nos modelos numéricos não foram considerados nem os pormenores das soldaduras
nem o peso próprio da estrutura. Salienta-se que esta última simplificação possibilita
a modelação duma zona muito restrita da junção dos perfis, não afectando, contudo,
o rigor da análise. Efectivamente, estima-se que o peso total de cada espécime
ensaiado não atinja 1kN, valor este irrisório comparativamente à ordem de grandeza
das cargas de colapso.
O material foi modelado tendo por base o critério de von Mises, sendo o valor da
7.3. LIGAÇÕES DE PERFIS METÁLICOS TUBULARES 185
Figura 7.39: Malha tipo da ligação tubular em K
tensão de corte de cedência, k, dado por σym/√3, em que σym é a média das tensões
de cedência experimentais indicadas na Tabela 7.17.
Devido à escassez de informação no relato experimental de [132], não é possível
determinar como foi realizada a sobreposição das diagonais no modelo I. Assim,
optou-se por estudar dois modelos distintos, identificados como I (a) e I (b), onde
se consideram as duas possibilidades de sobreposição existentes: (a) a sobreposição
da diagonal traccionada sobre a diagonal comprimida; (b) o caso contrário.
Nas últimas colunas da Tabela 7.18 encontram-se indicados os valores para as carhyphen.alt
gas de colapso obtidos através da análise numérica, juntamente com o valor do erro
comparativo em relação aos resultados experimentais. Estes valores denotam uma
boa concordância com os valores experimentais, validando, para o presente caso, as
simplificações assumidas. Pode-se ainda afirmar que, mesmo a maior discrepância
observada entre as cargas de colapso numéricas e experimentais, cerca de 10%, é um
valor bastante aceitável tendo em consideração a dispersão usualmente registada nos
valores experimentais para este tipo de ensaios [119]. Adicionalmente, a conformihyphen.alt
dade de resultados numéricos e experimentais permite alvitrar que a contribuição
dos efeitos de não linearidade geométrica não tem uma importância tão significativa
para o colapso da estrutura como pressupõem os autores dos ensaios experimentais
186 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
[132]. Salienta-se, por fim, a inocuidade da forma de sobreposição das diagonais no
que concerne aos valores obtidos para a carga de colapso.
Tabela 7.18: Resumo dos valores da análise numérica
Modelo Número de NDOF Carga de colapsoelementos globais locais valor (kN) erro (%)
I (a) 101795 572127 1221540 958.6 3.97%
I (b) 101795 572133 1221540 951.1 3.16%
II 217801 649474 2613612 918.2 9.83%
Nas Figuras 7.40, 7.41 e 7.42 são apresentadas as distribuições da dissipação plástica
juntamente com as configurações dos mecanismos de colapso de todos os modelos
analisados. Na Figura 7.41 é ainda apresentada a amplificação de um detalhe do
mecanismo de colapso do modelo I (b), permitindo, desta forma, realçar a diferença
deste modelo para o modelo I (a).
Um dos aspectos mais interessantes a reter dos mecanismos de colapso obtidos é a
sua perfeita concordância com os modos de rotura descritos no relato experimental:
(a) rotura por colapso da diagonal comprimida e (b) rotura por flexão da parede
da corda. Adicionalmente, é de realçar o facto de ambos os mecanismos obtidos
para o modelo I apresentarem uma semelhança notória com a imagem fotográfica,
reproduzida na Figura 7.43, que documenta uma rotura do mesmo género, retirada
de um caso pertencente ao mesmo conjunto de ensaios efectuados por Kurobane et
al. [132].
No que concerne ao desempenho da formulação refere-se que a análise dos actuais
problemas revelou uma convergência inesperadamente lenta, tanto mais que os mohyphen.alt
delos utilizavam um critério de cedência puramente coesivo, usualmente associado
a um comportamento de convergência rápido. Aponta-se a utilização combinada de
malhas não estruturadas e de um critério de cedência que força a existência de um
escoamento plástico isocórico, ao que se acresce a geometria laminar de forma comhyphen.alt
plexa, como factores que poderão ter contribuído para este comportamento menos
satisfatório. Para tentar contrariar este comportamento, efectuou-se um aumento
do valor inicial do parâmetro de penalidade, r, em 20 vezes. A melhoria da converhyphen.alt
gência em resultado desta acção foi significativa, conduzindo, contudo, a um ligeiro
aumento da estimativa da carga de colapso. Este contratempo é, de resto, caracteríshyphen.alt
tico do comportamento do algoritmo de Uzawa aquando da utilização de parâmetros
7.3. LIGAÇÕES DE PERFIS METÁLICOS TUBULARES 187
diagonal
comprimida
(a) Dissipação Plástica
(b) Mecanismo de Colapso
máx0
Figura 7.40: Solução da análise do modelo I (a)
188 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
diagonal
comprimida
(a) Dissipação Plástica
(b) Mecanismo de Colapso
máx0
Figura 7.41: Solução da análise do modelo I (b)
7.3. LIGAÇÕES DE PERFIS METÁLICOS TUBULARES 189
diagonal
comprimida
(a) Dissipação Plástica
(b) Mecanismo de Colapso
máx0
Figura 7.42: Solução da análise do modelo II
190 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
Figura 7.43: Colapso de uma ligação K originado na diagonal comprimida (retirado
de Kurobane et al. [132])
de penalidade demasiado elevados [13]. Este relato revela também que a estratégia
de escolha do valor inicial do parâmetro de penalização apresentada no final do Cahyphen.alt
pítulo 4 embora se revele capaz de produzir bons resultados em inúmeros casos, não
pode ser assumida como infalível.
De modo a substanciar os comentários anteriores, é apresentada na Tabela 7.19 a
influência da escolha do parâmetro de penalidade inicial no tempo total de cálculo e
no resultado final. Os tempos apresentados nesta tabela referem-se a cálculos efechyphen.alt
tuados com 9 núcleos de processamento através da implementação paralela baseada
no algoritmo PSPASES.
Tabela 7.19: Resultados da influência do parâmetro de penalidade inicial
Modelo Parâmetro de Tempo de cálculo Pu(r)P
u(r0)penalidade inicial (com 8 Slaves)
I (a) r0=3.83×10
−3 23m 32.94s 1.0000
20r0 7m 24.30s 1.0098
I (b) r0=6.33×10
−3 43m 36.58s 1.0000
20r0 7m 50.21s 1.0143
II r0=8.04×10
−3 2h 18m 17.93s 1.0000
20r0 37m 42.68s 1.0184
A informação anterior é ainda complementada com o gráfico da Figura 7.19 onde,
para todos os casos considerados, é representada a evolução da solução em função
7.3. LIGAÇÕES DE PERFIS METÁLICOS TUBULARES 191
do número de iterações do algoritmo de Uzawa. Nas ordenadas, indica-se o valor
da solução de forma normalizada, correspondendo o valor unitário ao valor final da
solução. No eixo das abcissas indica-se, em escala logarítmica, o número de iterações.
 
 
20 50 100 500 1000 3000 5000 75000.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
So
luç
ão
no
rm
ali
za
da
Número de iterações
I (a), r0
I (b), r0
II, r0
I (a), 20r0
I (b), 20r0
II, 20r0
Figura 7.44: Influência do parâmetro de penalidade inicial na convergência do algohyphen.alt
ritmo de Uzawa
192 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES NUMÉRICAS
Capítulo 8
Conclusões e desenvolvimentos
futuros
A obtenção e implementação de uma formulação de elementos finitos para Análise
Limite consistiu no principal objectivo deste trabalho. A sua concretização culminou
com o desenvolvimento de uma formulação baseada no Teorema Cinemático da
Análise Limite, formulação esta resultante de uma evolução de modelos previamente
existentes [9],[129].
Torna-se, consequentemente, conveniente recapitular de uma forma sumária os prinhyphen.alt
cipais conceitos retidos das formulações iniciais que serviram como ponto de partida
para alcançar a derradeira versão do modelo proposto.
Assim, é formulado um problema de optimização que minimiza a diferença entre a
potência das forças aplicadas e a dissipação plástica para um dado parâmetro de
carga. Este problema é sujeito a restrições que garantem a admissibilidade cinemáhyphen.alt
tica das soluções obtidas. Recorrendo ao Teorema Cinemático, é possível retirar
conclusões quanto à capacidade da estrutura suportar o carregamento associado ao
parâmetro de carga estudado.
O problema pode agora ser discretizado em elementos finitos isoparamétricos, utihyphen.alt
lizando funções de forma nodais lineares para interpolar o campo das velocidades.
Por sua vez, para o campo da taxa de deformação considera-se ainda uma segunda
aproximação, assumindo-o como constante em cada elemento. Esta relação adophyphen.alt
tada para os graus dos diferentes campos aproximados é essencial para garantir a
193
194 CAPÍTULO 8. CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
obtenção de uma formulação dita forte.
A compatibilidade entre os campos supramencionados é imposta recorrendo ao méhyphen.alt
todo do Lagrangeano Aumentado, mediante a introdução da respectiva condição
de compatibilidade na função objectivo. Esta condição é adicionalmente reforçada
através de um termo quadrático de penalidade.
A resolução do problema de minimização não linear formulado processa-se através de
uma variante do algoritmo iterativo de Uzawa com relaxação. Realça-se novamente
a importante vantagem decorrente da introdução no algoritmo de Uzawa de uma
etapa de relaxação, permitindo que a não linearidade do problema possa ser tratada
localmente ao nível local do elemento.
Finalmente, e para determinar o melhor majorante do parâmetro de carga de colapso
susceptível de ser obtido com a discretização adoptada, torna-se necessário combinar
a formulação descrita com um algoritmo de pesquisa do parâmetro de carga, como
o que se encontra ilustrado na Figura 4.2.
Por forma a melhorar o desempenho e alargar as capacidades de cálculo do modelo
existente foram propostas modificações, consistindo estas nas contribuições originais
deste trabalho. Procede-se, em seguida, à síntese destas modificações, tecendo-se
breves comentários sobre as vantagens delas decorrentes:
• Introdução na função objectivo de um termo que normaliza a taxa do trabalho
produzido pelas forças variáveis, através do método dos multiplicadores de
Lagrange. Esta medida permite extrair directamente da solução do problema
de minimização uma estimativa do parâmetro de carga de colapso, tornando-se
desnecessária a utilização de um algoritmo adicional de pesquisa do parâmetro
de carga. Tal traduz-se numa diminuição apreciável dos custos computacionais
e, consequentemente, do tempo de cálculo requerido.
• Definição de uma estratégia para estimar o valor inicial óptimo do parâmetro
de penalidade, r, e de um procedimento para a sua actualização no decorhyphen.alt
rer do processo iterativo do algoritmo de Uzawa. Esta modificação, por sua
vez, reflecte-se no desempenho do algoritmo, originando um aumento na sua
velocidade de convergência.
• Imposição das restrições do problema de minimização de uma forma local,
195
em detrimento de uma forma ponderada. Este facto revela-se de importância
capital ao permitir o aumento dos graus das funções de aproximação de uma
forma expedita, sem prejudicar o carácter forte da formulação.
• Introdução de elementos com aproximações quadráticas para o campo das
velocidades e, portanto, lineares para as taxas de deformação. A utilização
destes elementos reduz a sensibilidade da formulação a fenómenos de locking.
Adicionalmente, a utilização destes elementos para malhas de baixa e média
densidade, melhora a relação entre os graus de liberdade utilizados e a qualihyphen.alt
dade dos resultados obtidos.
• Introdução de descontinuidades no campo de velocidades do modelo, sugerinhyphen.alt
do-se duas abordagens distintas. Na primeira, uma variante Híbrida-Mista
da formulação é desenvolvida adicionando-se uma aproximação para o campo
das velocidades relativas entre fronteiras de elementos adjacentes. Na segunda
abordagem investigada, as descontinuidades são modeladas através de elemenhyphen.alt
tos degenerados de espessura nula. A possibilidade de existência de descontihyphen.alt
nuidades no modelo torna mais fácil a obtenção de boas estimativas de colapso
para problemas cujas soluções apresentem singularidades muito localizadas nos
mecanismos. Acrescenta-se ainda que, ao introduzirem graus de liberdade adihyphen.alt
cionais nas interfaces dos elementos, as descontinuidades também contrariam
o aparecimento de fenómenos de locking.
• Paralelização do modelo. Aplicaram-se técnicas de processamento paralelo
para a implementação da formulação, dando particular relevo ao estudo de
diversas alternativas para o método de resolução em paralelo do sistema gohyphen.alt
vernativo da minimização global. Esta etapa é considerada crítica, já que a
sua implementação em paralelo é a que mais condiciona o desempenho global
do modelo. O modelo paralelo revela uma boa escalabilidade confirmando a
adequabilidade, previsível, da formulação para este tipo de abordagem. A obhyphen.alt
tenção de cargas de colapso de elevada precisão está inevitavelmente associada
a custos computacionais elevados. A computação paralela representa uma boa
solução para contornar este problema, ao repartir a carga computacional pelas
diversas máquina envolvidas nos cálculos.
Adicionalmente, e ainda com a formulação inicial, procedeu-se ao estudo do comhyphen.alt
portamento do algoritmo de Uzawa, face à existência de soluções múltiplas óptimas
196 CAPÍTULO 8. CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
para o problema de minimização1. Esta análise permitiu identificar condições de ophyphen.alt
timalidade para parâmetros de carga incapazes de produzir mecanismos de colapso.
Com base nestas condições, obteve-se uma formulação alternativa à existente. É
interessante verificar que este novo modelo, obtido a partir desta abordagem e, conhyphen.alt
sequentemente, sem evocar quaisquer princípios matemáticos de dualidade, resulta
efectivamente numa formulação discreta do Teorema Estático.
Para concluir a enumeração das contribuições introduzidas no modelo refere-se que,
e embora não constituísse um objectivo essencial deste trabalho, se procedeu à imhyphen.alt
plementação de um algoritmo de minimização local adequado ao critério de cedência
de Drucker-Prager.
Os testes numéricos apresentados no Capítulo 7 ilustram a enorme capacidade de
cálculo do modelo desenvolvido, tendo sido possível executar análises com malhas
constituídas por mais de 1.8 milhões de graus de liberdade globais e de 5 milhões de
graus de liberdade locais. Este número ganha particular relevo quando comparado
com trabalhos de outros autores que, limitados por estratégias sequenciais, relatam
a utilização de malhas com um número significativamente mais reduzido de graus de
liberdade. A possibilidade de recorrer a malhas com estes níveis de refinamento rehyphen.alt
flecte-se necessariamente na excelente qualidade dos resultados obtidos. De facto, os
resultados dos exemplos 3D analisados superam invariavelmente os melhores valores
encontrados, à data, na literatura técnica.
8.1 Desenvolvimentos futuros
Em jeito de conclusão enuncia-se um conjunto de tópicos que se considera intereshyphen.alt
santes, pretendendo-se explorá-los em trabalhos futuros.
Efectivamente e apesar dos bons resultados obtidos, não se considera esgotado o dehyphen.alt
senvolvimento do modelo de cálculo apresentado. Neste âmbito, destacam-se alguns
aspectos que se consideram dignos de uma atenção especial no futuro.
Eleito como tópico primordial encontra-se a melhoria da velocidade de convergência
do algoritmo de Uzawa. Este é um assunto que continua ainda hoje a interessar
1É de salientar que esta multiplicidade é eliminada mediante a aplicação da primeira modificação
referida anteriormente.
8.1. DESENVOLVIMENTOS FUTUROS 197
igualmente a Comunidade Matemática. Observam-se bastantes trabalhos que verhyphen.alt
sam o desenvolvimentos de algoritmos para a solução de problemas de ponto sela,
sendo por isso necessário estar atento a novos desenvolvimentos nesta área e estudar
a possibilidade de adaptar estes novos algoritmos ao modelo aqui apresentado.
Existe também ainda trabalho a realizar na utilização de métodos de resolução de
sistemas de equação em paralelo. Nomeadamente, considera-se interessante estudar
a introdução de precondicionadores para o método FETI.
A estratégia utilizada no modelo para resolver o aspecto da não linearidade assohyphen.alt
ciada ao problema de Análise Limite, transformando-o num problema local, pode
constituir uma mais valia na modelação de materiais com critérios de cedência comhyphen.alt
plexos. Assim, seria interessante investigar a adequabilidade do modelo a materiais
ortotrópicos.
Outro assunto sempre presente ao longo do desenvolvimento deste trabalho é a
adaptividade. Encontram-se já analisadas com detalhe as estratégias propostas por
outros autores e foram já realizados alguns testes preliminares de critérios e técnicas
adaptativas. Há, contudo, ainda um grande trabalho a desenvolver até se conseguir
obter uma estratégia satisfatória. Contudo, a mais-valia espectável da utilização
de técnicas adaptativas elege este tópico como um dos assuntos mais prementes a
explorar num futuro próximo.
Estabeleceu-se como objectivo deste trabalho produzir uma formulação de limite
superior forte. Assim, considera-se interessante investigar o desempenho de uma vahyphen.alt
riante do modelo misto apresentado, desenvolvida a partir da imposição ponderada
das condições de admissibilidade cinemática. O confronto do desempenho entre a
formulação fraca assim obtida e a formulação forte original trará certamente resulhyphen.alt
tados dignos de interesse.
Outra extensão natural deste trabalho é a aplicação da abordagem utilizada, recorhyphen.alt
rendo alternativamente a elementos de tensão, de modo a obter uma formulação de
limite inferior.
198 CAPÍTULO 8. CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
8.2 Nota final
Ante o exposto neste documento, considera-se que esta tese representa um contrihyphen.alt
buto que se considera corresponder a um avanço no desenvolvimento de modelos
numéricos para Análise Limite. Cabe agora tirar partido da ferramenta numérica
disponibilizada e da sua elevada capacidade de cálculo na resolução de problemas
de aplicação prática na área da Engenharia Civil.
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